Haz de rectas en el plano (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 17:57 19 mar 2009

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Haz de rectas de centro un punto

Llamamos haz de rectas de centro P al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P.

Proposición

El haz de rectas de centro $P(x_0,y_0)\,$ es :

$\big \{a \,(x-x_0)+b \, (y-y_0)=0 \, , \quad a, \, b \in \mathbb{R}\big \}$

Los parámetros $a\,$ y $b\,$ , al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.

Demostración:

Es evidente que cualquier recta del haz pasa por el punto P, puesto que al sustituir las coordenadas del punto en la expresión del haz, siempre se verifica la ecuación.

Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será:

a) Si $d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0 \, : \quad \cfrac{x-x_0}{d_1}=\cfrac{y-y_0}{d_2}$ (ecuación continua)

b) Si $d_1=0 \, : \quad x=x_0$

c) Si $d_2=0 \, : \quad y=y_0$

Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de $a\,$ y $b\,$ adecuados:

a) $\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2} \;\; \rightarrow \;\; \cfrac{1}{d_1}(x-x_0)- \cfrac{1}{d_2}(y-y_0)=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=\cfrac{1}{d_1} \\ b=\cfrac{1}{d_2} \end{cases}$

b) $x=x_0 \;\; \rightarrow \quad x-x_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}$

c) $y=y_0 \;\; \rightarrow \;\; y-y_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases}$

Haz de rectas de centro un punto (usando la pendiente como parámetro)

Proposición

El haz de rectas de centro $P(x_0,y_0)\,$ es :

$\big\{ y=y_0+m \, (x-x_0) \, , \quad m \in \mathbb{R} \big \} \, \cup \big \{ x=x_0 \big \}$

La pendiente $m\,$ es un parámetro que, al darle valores, nos permite obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz.

Demostración:

Es evidente ya que la ecuación punto pendiente permite obtener la ecuación de una recta conocido eun punto y su pendiente. Así, si yo dejo fijo al punto y hago variar la pendiente, obtengo todas las rectas con todas las inclinaciones posibles que pasan por ese punto, a falta de $x=x_0\,$ , que al ser vertical se escapa a este procedimiento, ya que su pendiente es "infinita".

Actividad interactiva: Haz de rectas de centro un punto

Actividad 1: En la siguiente escena representaremos el haz de rectas de centro un punto.

Actividad:

Modifica la pendiente y observa como se obtienen las distintas ecuaciones del haz de rectas de centro P(5,4):

Click aquí si no se ve bien la escena

Haz de rectas de centro el punto de corte de dos rectas secantes

Proposición

Dadas dos rectas que se corten en un punto P: $\begin{cases} r: \, Ax+By+C=0 \\ s: \, A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$ .

La ecuación del haz de centro P es:

$\big \{ k \, (Ax+By+C)+k' \, (A'x+B'y+C')=0 \, , \quad k, \, k' \in \mathbb{R}\big \}$

Lo parámetros $k\,$ y $k'\,$ , al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Haz_de_rectas_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 }}
 {{p}}
-{{p}}
+==Haz de rectas de centro un punto (usando la pendiente como parámetro)==
 {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 El haz de rectas de centro <math>P(x_0,y_0)\,</math> es :
 }}
 {{p}}
+==Haz de rectas de centro el punto de corte de dos rectas secantes==
 {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas que se corten en un punto P: <math>\begin{cases} r: \, Ax+By+C=0 \\ s: \, A'x+B'y+C'=0 \end{cases}</math>.

Haz de rectas en el plano (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 17:57 19 mar 2009

Haz de rectas de centro un punto

Haz de rectas de centro un punto (usando la pendiente como parámetro)

Haz de rectas de centro el punto de corte de dos rectas secantes

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas