Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma: $\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
Resta: $\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
Multiplicación: $\,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$
División: $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$ , siempre que $c+di\,$ no sea nulo.

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}$

Solución:

$\,(3 + 2i) + (5 + 6i)=3 + 5 + 2i + 6i=8 + 8i$
$\,(6 - 5i) - (4 - 7i)=6-4-5i+7i=2+2i$
$\,(3 + 4i) (2 - 5i)=6-15i+8i-20i^2=6-7i+20=26-7i$
$\,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}=\frac{(5 - 3i)(4-2i)}{(4 + 2i)(4-2i)}=\frac{(20-10i-12i+6i^2)}{(16-8i+8i-4i^2)}=\frac{(20-6-10i-12i)}{(16+4)}=\frac{14}{20}-\frac{22}{20}i$

Actividad interactiva: Operaciones con números complejos

Actividad 1: Efectúa las siguientes sumas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(3 + i) + (1 - 3i)$
$\,(-5 + 3i) + (6 + 4i)$
$\,(5 - 4i) + (-1 - i)$
$\,(-3 + 4i)+(3 + i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la suma de dos complejos por el "método del paralelogramo"

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 1: Efectúa las siguientes restas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(-5 + 3i) - (4 + 2i)$
$\,(5 -2i) -(1+ 4i)$
$\,(5 - 4i) - (-1 - i)$
$\,(-3 + 4i)-(3 - 2i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la resta de dos complejos por el "método del paralelogramo"

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Otro modo de restar números complejos es sumar el opuesto: puedes comprobarlo en la siguiente figura:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

$\,(-2 -2i) (1 + 3i)$
$\,(2 + 3i)(5-6i)$
$\,(2+3i)(-2-3i)$
$\,(-1-2i)(-1+2i)$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0).

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 4: Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:

$\,(2+4i):(4-2i)$
$\,(1-4i):(3+i)$
$\,(5+i):(-2-i)$
$\,(4-2i):i$

Actividad:

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.

Mueve los puntos azules para modificar los datos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Propiedades de las operaciones con números complejos

El 0 es el elemento neutro de la suma.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , tiene un opuesto, $-a-bi\,$
El 1 es el elemento neutro del producto.
Todo número complejo, $a+bi\,$ , distinto de 0, tiene inverso, $\cfrac{1}{a+bi}$ :

$\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Operaciones_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Operaciones con números complejos''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo
-|enunciado=:'''Actividad 3:''' Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:
+|enunciado=:'''Actividad 1:''' Efectúa las siguientes sumas de números complejos en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:
 :# <math>\,(3 + i) + (1 - 3i)</math>
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 {{p}}
 |actividad=
-En esta escena tienes representados los números complejos: z1=a+bi y z2=c+di
+Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la suma de dos complejos por el "método del paralelogramo"
-Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena)
+Mueve los puntos azules para modificar los datos.
-Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.
-Observa la escena y averigua cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos.
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+<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/complejos_suma.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+}}
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+Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la resta de dos complejos por el "método del paralelogramo"
+Mueve los puntos azules para modificar los datos.
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+Otro modo de restar números complejos es sumar el opuesto: puedes comprobarlo en la siguiente figura:
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-|enunciado=:'''Actividad 2:''' Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:
+|enunciado=:'''Actividad 3:''' Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:
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 :# <math>\,(-1-2i)(-1+2i)</math>
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+|actividad=Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0).
-En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi)(c+di)
+Mueve los puntos azules para modificar los datos.
-Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.
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-|enunciado=:'''Actividad 3:''' Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:
+|enunciado=:'''Actividad 4:''' Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena:
 :# <math>\,(2+4i):(4-2i)</math>
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-En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el cociente de dos números complejos, z1:z2=(a+bi):(c+di)
+Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos.
-Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones.
+Mueve los puntos azules para modificar los datos.
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