Vectores: Definición y operaciones (1ºBach)
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- | |enunciado='''Actividad 2:''' En la escena siguiente vas a expresar un vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} como combinación lineal de otros dos, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}}. | + | |enunciado='''Actividad 3:''' En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos. |
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/m_Geometria/vectores/vectores4_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/vectores_cl3_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> |
- | #Colocamos {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}}, {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}} y {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} con el origen común en el punto '''P''', para ello pulsa en los botones inferiores para dar los valores '''n=1''', '''m=1''', '''p=1'''. | + | #Desliza el punto verde lentamente y observa los cambios. |
- | #Desde el extremo de v trazamos primero una paralela al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}}, y luego una paralela al vector {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}}. | + | #Devuelve el deslizador a su posición original, cambia los tres vectores y vuelve a usar el deslizador |
- | #Prolongamos los vectores {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}}, cambiando los valores de '''n''' y '''m''', hasta que corten a las paralelas. | + | |
- | #Ya tenemos el paralelogramo, donde {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}=n\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{y}</math>}}, esto es, ya tenemos escrito {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{v}</math>}} como combinación lineal de {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>\overrightarrow{y}</math>}}. | + | |
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
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Tabla de contenidos |
Vectores
Vectores fijos
Un vector fijo es un segmento orientado que queda determinado por un punto origen, A y otro punto extremo, B. Lo simbolizamos . Características de un vector:
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Vector nulo
El vector nulo es aquel cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, tiene módulo cero. Lo simbolizaremos .
Vectores opuestos
Dos vectores, y , son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentidos opuestos. Lo simbolizaremos . |
Vectores equipolentes. Vectores libres
Dos vectores, y , son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido (aunque sus orígenes y extremos sean distintos). Lo simbolizaremos Dado un vector, existen infinitos vectores equipolentes a él. Cuando queremos hacer uso de un vector podemos elegir uno de esos infinitos vectores iguales a él y utilizarlo como representante del vector. Al conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se le llama vector libre. Un vector libre lo denotaremos mediante una letra con una flecha: |
Actividad interactiva: Vectores Actividad 1: Módulo, dirección y sentido de un vector fijo. Actividad: En la escena puedes ver varios vectores fijos.
Actividad 2: Vectores equipolentes. Actividad: Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.
Actividad 3: Vectores libres. Actividad: Encierra en cada caja los vectores que te parezcan equipolentes al que ya está dentro. (Para ello pincha y arrastra el puntito negro que ves en el origen de cada vector. Puedes usar el zoom si lo necesitas.) ¿Cuántos vectores libres se obtienen? |
Operaciones con vectores
Producto de un vector por un número
El producto de un número real por un vector es otro vector que tiene las siguientes características:
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Actividad interactiva: Producto de un vector por un número Actividad 1: En esta escena representaremos el producto de un vector por un número. Actividad: Mueve los puntos azules y observa los cambios. ¿Qué relación encuentras entre los vectores y ? Mueve ahora el punto verde y observa. ¿Qué relación encuentras entre los vectores y , siendo un número positivo cualquiera? ¿Y qué ocurre cuando es negativo o 0?
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Suma y resta de vectores
Suma de vectores:
Dados dos vectores y , su suma es otro vector, , que tiene como origen el origen de y por el extremo, el extremo de . |
Actividad interactiva: Suma de vectores Actividad 1: En la escena siguiente vas a dibujar la suma de dos vectores por 2 métodos. Actividad: Desliza el punto verde o el azul para ver cada uno de los dos métodos. Mueve los puntos azules de los vectores para cambiarlos. |
Resta de vectores:
Para restar dos vectores y , sumamos al vector el opuesto de . Es decir, . |
Método del paralelogramo:
Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores y y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente. |
Actividad interactiva: Resta de vectores Actividad 1: En la escena siguiente vas a dibujar la resta de dos vectores por 2 métodos. Actividad: Desliza el punto verde o el azul para ver cada uno de los dos métodos. Mueve los puntos azules de los vectores para cambiarlos. |
Combinación lineal de vectores
Dados dos vectores y , otro vector es combinación lineal de ellos si podemos encontrar dos números reales a y b tales que En el gráfigo de la derecha tenemos un ejemplo en el que el vector es combinación lineal de los vectores y , siendo los coeficientes y . La definición anterior se puede extender a mas de dos vectores, así, por ejemplo, un vector es combinación lineal de otros tres , y si podemos encontrar 3 números reales a, b y c tales que |
Actividad interactiva: Combinación lineal de vectores Actividad 1: En la escena siguiente tienes el vector . Se dice entonces que el vector es combinación lineal de y . Actividad: Mueve los puntos verdes hasta visualizar: Actividad 3: En la escena siguiente vas a expresar un vector como combinación lineal de otros dos. Actividad:
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