Plantilla:Radicales (nivel básico)

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Revisión de 08:28 8 ago 2016

Radical

El término radical se usa para referirse a expresiones del tipo $k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}$

Propiedades de las operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

1. $\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

2. $\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

4. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

5. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Demostración:

Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) $\sqrt[12]{x^9}$ , b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6$ , c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ , d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$ , e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}$

Solución:

a) $\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}$ , usando la propiedad nº 1 de las operaciones con radicales.

b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4$ , usando la propiedad nº 2 de las operaciones con radicales y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.

d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3$ , usando la propiedad nº 4 de las operaciones con radicales.

e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2$ , usando la propiedad nº 5 de las operaciones con radicales.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}$

Solución:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Radicales_%28nivel_b%C3%A1sico%29"

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 :b) <math>\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4</math>, usando la propiedad nº 2 de las operaciones con radicales y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.
 :c) <math>\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}</math>, usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.
-:d) <math>\sqrt[3]{\sqrt{a}}=\sqrt[3 \cdot 2]{a}=\sqrt[6]{a}</math>,  usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.
+:d) <math>\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3</math>, usando la propiedad nº 4 de las operaciones con radicales.
+:e) <math>\sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2</math>, usando la propiedad nº 5 de las operaciones con radicales.
 }}
 {{p}}

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