Plantilla:Logaritmos (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 19:27 9 ago 2016

Tabla de contenidos

1 Logaritmos
2 Propiedades de los logaritmos
3 Logaritmos decimales
- 3.1 Calculadora
4 Logaritmos neperianos
- 4.1 Calculadora
5 Videotutoriales

Logaritmos

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

Ejemplos: Logaritmos

Calcula los siguientes logaritmos: $log_2 \ 16,\ log_{10} \ 1000,\ log_2 \ \cfrac{1}{8}, \ log_{10} \ 0.01$

Solución:

$log_2 \ 16=4$ porque $2^4=16\;$
$log_{10} \ 1000=3$ porque $10^3=1000\;$
$log_2 \ \cfrac{1}{8}=-3$ porque $2^{-3}=\cfrac{1}{8}\;$
$log_2 \ 0.01=log_2 \ 10^{-2}=-2$ porque $10^{-2}=0.01\;$

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos:

1: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

2: Logaritmo de 1:

$log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad \forall a>1$

5: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

6: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

7: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

8: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

9: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 15$ .

Solución:

Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:

$log_2 \ 15=\cfrac{log \ 2}{log \ 15}=0,43067...$

ya que $log \ 2$ y $log \ 15$ se pueden obtener directamente con la calculadora.

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es:

$log_{e} \ P=ln \ P$

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\ln \ 50$

Procedimiento: $50\;\!$

Solución: $3.912023005\;\!$

John Napier (Neper)

Videotutoriales

Logaritmo de un número positivo (7´38") Sinopsis:

Concepto de logaritmo de un número.

12 ejercicios sobre logaritmos (10´15") Sinopsis:

Ejercicios sobre ejercicios básicos de cálculo de logaritmos aprtir de la definición.

6 ejercicios sobre logaritmos (5´27") Sinopsis:

Ejercicios sobre ecuaciones logarítmicas

Propiedades de los logaritmos (13´22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los logaritmos.

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (9´34") Sinopsis:

Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (8´45") Sinopsis:

Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos

2 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (7´13") Sinopsis:

Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos

4 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (6´18") Sinopsis:

Ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos

Cambio de base de logaritmos (7´16") Sinopsis:

Cambio de base usando la calculadora.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Logaritmos_%281%C2%BABach%29"

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De Wikipedia

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