Concepto de sucesión (1ºBach)

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Sucesión de números reales

Una sucesión de números reales es una función $f \;$ , que a cada número natural $n \;$ le asocia un número real $a_n \;$

$\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}$

Esto genera el conjunto ordenado

$\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}$

que se llaman los términos de la sucesión.

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Así, muchas veces, hablaremos de la sucesión de términos $\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}$ en lugar de la sucesión $f \;$ .

Aplicación entre conjuntos (6´25") Sinopsis:

El concepto de aplicación o función ente dos conjuntos es necesario para la definición de sucesión.

Sucesión de números reales (5´59") Sinopsis:

Definición de sucesión de números reales como aplicación entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales.
Término general de una sucesión.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Fibonacci

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ( $\phi\;$ ):

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

Valor inicial: 1 pareja
Mes 1: 1 pareja (hasta el segundo mes no se reproduce la primera)
Mes 2: 2 parejas (primera vez que se reproduce)
Mes 3: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el próximo mes)
Mes 4: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
Mes 5: 8 parejas (se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
Mes 6: 13 parejas (se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene una sucesión en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

$\{ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots \}$

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos la sucesión:

$\left \{ \cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots \right \}$

que expresada con decimales vemos que se aproxima al número áureo:

$\{ 1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \} \rightarrow \phi$

Término general de una sucesión

(pág. 53)

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por $a_n\;$ , al término que representa a uno cualquiera de ella. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por $\{ a_n\} \;$

Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: $a_n=f(n)\;$ . Dándole a n un valor, se obtiene el término correspondiente.

Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores.

Ejercicios resueltos: Término general de una sucesión

Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

c) 1, -3, 9, -27, 81, ...

d) 2, 4, 6, 10, 16, 26, ...

e) 110, 90, 70, 50, 30, ...

f) 1, -4, 9, -16, 25, -36, ...

Solución:

a) $a_n=n^2\;$

b) $a_n=2^n\;$

c) $a_n=(-3)^{n-1}\;$

d) Es recurrente. La ley de recurrencia es $a_1=2;~a_2=4;~a_n=a_{n-1}+a_{n-2},~ \forall n>2$

e) $a_n=110-20(n-1)\;$

f) $a_n=(-1)^{n+1} \cdot n^2$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Concepto_de_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

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