Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 09:26 14 ago 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Videotutoriales sobre progresiones aritméticas) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 09:52 14 ago 2016 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Videotutoriales sobre progesiones geométricas) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 104: | Línea 104: | ||
|duracion=7'27" | |duracion=7'27" | ||
|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0503-ejercicio-11#.VCanxfl_u2E | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0503-ejercicio-11#.VCanxfl_u2E | ||
- | |sinopsis=Videotutorial | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{Video_enlace | ||
- | |titulo1=Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica | ||
- | |duracion=6´48" | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/07-suma-de-terminos-consecutivos-de-una-sucesion-geometrica#.VCaqh_l_u2E | ||
|sinopsis=Videotutorial | |sinopsis=Videotutorial | ||
}} | }} |
Revisión de 09:52 14 ago 2016
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.
Escrito en forma recursiva:
Por ejemplo, la sucesión :
es una progresión aritmética con diferencia .
Progresiones aritméticas: definición y ejemplos.
Determina el quinto término de la siguiente progresión aritmética: {-3, -7, -11, -15, ...}
Dados los términos de una progresión aritmética, completar la fórmula de recurrencia.
Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión aritmética y a cómo identificarlas.
Actividades de introducción a las sucesiones aritméticas.
Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.
Extiende sucesiones aritméticas.
Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
El término general, , de una progresión aritmética de diferencia es:
En efecto, de forma intuitiva:
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:
Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.- Definición de progresión aritmética.
- Término general
- Ejemplos
Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones aritméticas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.
Término general de una progresión aritmética: Obtención y ejemplos.
Término general de una progresión aritmética: Más ejemplos
Término general de una progresión aritmética a partir de términos intermedios.
- Definición de progresión aritmética.
- Ejemplos
- Término general
- Una progresión aritmética tiene como término general , halla el término .
- Halla el término de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
Halla el término general y la forma recursiva de las siguientes progresiones aritméticas:
- a) {-5, -3, -1, 1, ...}
- b) {100, 107, 114, 121, ...}
- c) {1, 3, 6, 10, ...}
Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
- a) {12, 5, -2, -9, ...}
- b) {-100, -50, 0, 50, ...}
Halla el término 100 de la siguiente progresión aritmética: {15, 9, 3, -3, ...}.
Halla la forma recursiva de la progresión aritmética con término general
Actividad de introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas.
Actividad para aprender a obtener el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.
Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión aritmética.
Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.
Repaso de sucesiones aritméticas.
Usa el término general de progresiones aritméticas.
Obtén el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.
Encuentra el término general de una progresión aritmética dada.
Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.
Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:
En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.
El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.
Demostración:
Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:
Entonces, si efectuamos la siguiente suma:
-
- _______________________________________________________________
por tanto:
Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión aritmética.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Ejemplos.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con demostración apoyada en la anécdota de Gauss. Ejemplo.
Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Halla el valor del ángulo θ, sabiendo que representa su complementario y su supementario, teniendo en cuenta que se cumple la siguiente expresión:
Suma los n primeros términos de una progresión aritmética dada.
Videotutoriales
- Definición de progresión aritmética.
- Ejemplos
- Término general
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón.
Escrito en forma recursiva:
Por ejemplo, la sucesión :
es una progresión geométrica de razón .
Progresiones geométricas: definición y ejemplos.
Halla el quinto término de la siguiente progresión geométrica:
Halla el término de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión geométrica y a cómo identificarlas.
Extiende sucesiones geométricas.
Extiende sucesiones geométricas con términos negativos y racionales.
Fórmulas recursivas para sucesiones geométricas.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
El término general, , de una progresión geométrica de razón es:
En efecto, de forma intuitiva:
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:
Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:
Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.- Definición de progresión geométrica.
- Término general
- Ejemplos
Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones geométricas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.
Término general de una progresión geométrica: Obtención y ejemplos.
- Definición de progresión geométrica.
- Ejemplos.
- Término general de una progresión geométrica.
Una progresión geométrica tiene como término general , halla el término .
Halla el término general y la forma recursiva de la siguiente progresión geométrica: {168, 84, 42, , 21, ...}.
Halla la fórmula recursiva a partir del término general .
Problema sobre progresiones geométricas.
Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión geométrica.
Progresiones geométricas.
Usa el término general de una progresión geométrica.
Halla el término general de una progresión geométrica.
Convertir formas recursivas y explícitas de sucesiones geométricas.
Problemas verbales con progresiones geométricas.
Ejercicio resuelto: Progresión geométrica
En una progresión geométrica de términos positivos, y . Halla , y .
Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: .
Encuentra el término general de una progresión geométrica dada.
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Efectuamos la siguiente resta:
-
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
y despejando
Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión geométrica.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Ejemplos.
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Ejemplos.
Ejemplos y demostración la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Suma los n primeros términos de progresión geométrica dada.
Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica
Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?
Se trata de un problema típico de aritmética comercial de anualidades de capitalización:
Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el segundo año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el tercer año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el cuarto año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Al comenzar el quinto año ingreso 1000 €, que se transforman en al final del quinto año.
Si sumamos todas esas cantidades:
estaremos sumando los cinco primeros términos de una progresión geométrica con y
Anualidades de capitalización son cantidades fijas que se entregan al principio de cada año para su colocación a interés compuesto con objeto de llegar a constituir un capital al cabo de un determinado número de años.
Anualidades de amortización son pagos fijos que se entregan al final de cada año para su colocación a interés compuesto, con objeto de llegar a extinguir o amortizar una deuda juntamente con sus intereses, en un determinado número de años.
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:
Para la demostración se requiere del concepto de límite. Véase: Algunos límites importantes.
Actividades en las que aprenderás a obtener la suma de todos los términos de una progresión geométrica, siempre que ésto sea posible.
Fórmula de la suma de todos los términos de una progresión geométrica. Ejemplos.
Fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. Ejemplos.
Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de "n" términos de una progresión geométrica
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
Véase en el siguiente videotutorial.
Actividades en las que aprenderás a obtener el producto de los "n" primeros términos de una progresión geométrica.
Demostración de la fórmula del producto de n términos de una progresión geométrica
Videotutoriales sobre progesiones geométricas
- Definición de progresión geométrica.
- Ejemplos.
- Término general de una progresión geométrica.
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Videotutorial
Sucesiones de potencias
Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma
De ellas las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.
Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos
- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
La demostración excede los niveles de este curso.
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:
Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:
Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:
siendo el número áureo.
Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia
Ejercicios
Progresiones aritméticas
Problemas: Progresiones aritméticas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas. a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...Solución:
2. Si y , en una progresión aritmética, ¿cuánto vale ?
Solución:
3. Si y , calcular .
Solución:
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.
Solución: |
Progresiones geométricas
Problemas: Progresiones geométricas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas. a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...Solución:
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
Solución:
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?
Solución: 4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?Solución: a) b) |