Plantilla:Progresiones aritméticas

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En efecto, de forma intuitiva:

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Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n. Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1.

Sustituimos n por n+1 en el lado derecho de la fórmula:

Por otro lado sabemos que , y como hemos supuesto que la igualdad es cierta para el valor n, , tenemos que:

con lo que llegamos a la misma expresión que en [1], verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

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El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

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por tanto: