Plantilla:Progresiones aritméticas

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Revisión de 15:19 14 ago 2016

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ . Entonces, se cumple que:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

$a_1 = a_1 + 0 \cdot d \;\!$

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a_4 = a_3 + d = a_1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

$a_1+(1-1) \cdot d = a_1 + 0 \cdot d = a_1$

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ . [1]

Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:

$a_{n+1}= a_n+ d \;$ [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

$a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d$

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

Progresión aritmética (10´21") Sinopsis:

Definición de progresión aritmética.
Ejemplos
Término general

Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

$S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

$+\;$

$S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1$

_______________________________________________________________

$2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K$

por tanto:

$S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}$

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (8´47") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Progresiones_aritm%C3%A9ticas"

 <math>a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!</math>
 </center>
+---------------
 '''Demostración por el método de inducción completa:'''
 <center><math>a_n=a_1+(n-1) \cdot d</math>.{{b4}}[1]</center>
+Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:
+<center><math>a_{n+1}= a_n+ d \;</math>{{b4}}[2]</center>
 Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:
-<center><math>a_{n+1}=a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d</math></center>
+<center><math>a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d</math></center>
 {{p}}
 Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.
 }}
 {{p}}

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