Concepto de sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Sucesión de números reales

(pág. 52)

Una sucesión de números reales es una función f \;, que a cada número natural n \; le asocia un número real a_n \;

\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}

Esto genera el conjunto ordenado

\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}

que se llaman los términos de la sucesión.

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Normalmente hablaremos de la sucesión de términos \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \} en lugar de la sucesión f \;.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Concepto de sucesión

Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:
a) \{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... \} \;
b) \{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \} \;
c) \{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;
d) \{ 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... \} \;
e) \{ 110, 90, 70, 50, 30, ... \} \;
f) \{ 1, -4, 9, -16, 25, -36, ... \} \;
Solución:
a) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa.
a_7=49,\ a_8=64
b) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 2 el anterior.
b_7=128,\ b_8=256
c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por -3 el anterior.
c_7=-243,\ c_8=729
d) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores.
d_7=42,\ d_8=68
e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándo 20 al anterior.
e_6=10,\ e_7=-10
f) Los términos pares, a partir del segundo, se obtienen sumando 2 al anterior.
f_8=38 \;
y los términos impares, a partir del tercero, se obtienen multiplicando por 2 el anterior.
f_9=76 \;

Ejercicios

(pág. 52)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de sucesión

1. Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:

a) \{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;
b) \{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;
c) \{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;
d) \{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;
e) \{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;
f) \{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;
g) \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;
h) \{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;

Término general de una sucesión

(pág. 53)

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por a_n\;, al término que representa a uno cualquiera de ella. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por \{ a_n\} \;

  • Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: a_n=f(n)\;. Dándole a n un valor, se obtiene el término correspondiente.
  • Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores. En estos casos se suele dar una ley de recurrencia, una regla que relaciona cada término con sus anteriores.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Término general de una sucesión

Halla el término general (si se puede) o la ley de recurrencia de las siguientes sucesiones:
a) \{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... \} \;
b) \{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \} \;
c) \{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;
d) \{ 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... \} \;
e) \{ 110, 90, 70, 50, 30, ... \} \;
f) \{ 1, -4, 9, -16, 25, -36, ... \} \;
Solución:
a) a_n=n^2\;
b) a_n=2^n\;
c) a_n=(-3)^{n-1}\;
d) Es recurrente. La ley de recurrencia es a_1=2;~a_2=4;~a_n=a_{n-1}+a_{n-2},~ \forall n>2
e) a_n=110-20(n-1)\;
f) a_n=(-1)^{n+1} \cdot n^2

wolfram

Actividad: Termino general de una sucesión

1. Intenta escribir una expresión que sirva para calcular cualquier término de las sucesiones siguientes:
a) \{1,2,3,4,5,...\}\;     b) \{1,4,9,16,...\}\;     c) \{1,3,5,7,...\}\;
d) \{ {1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},...\}      e) \{-1,1,-1,1,-1,...\}\;     f) \{1,-1,1,-1,1,...\}\;

2. Dada la sucesión de término general a_n=n^2-4n\;:
a) Halla los cinco primeros términos.
b) Halla el término a_{10} \;

3. Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo primer término es 2 y todos los demás se obtienen sumando 5 al término anterior.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
1.
a) 1,2,3,4,5,...
b) 1,4,9,16,...
etc.


2.
a) n^2-4n for n=1 to 5
b) n^2-4n for n=10


3.     a(1)=2,a(n)=a(n-1)+5 (sucesión recurrente)

Ejercicios

(pág. 53)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Término general de una sucesión

    2. Forma una sucesión recurrente con los siguientes datos:

        a_1=2, \ a_2=3, \ a_n=a_{n-2}+a_{n-1}

    3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como témino general:

        a_n=3+5(n-1), \ b_n=3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \ c_n=(-1)^n \, 2^n

        d_n=(n-1)(n-2), \ e_n=n^2+(-1)^n \, n^2

    4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea a_n=a_{n-1}+n \;

    5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:

        a) \{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;

        b) \{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;

        c) \{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;

        d) \{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;

        e) \{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;

        f) \{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;

        g) \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;

        h) \{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;
Solución:
Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Videotutoriales

Aplicación entre conjuntos (6´25")     Sinopsis:

El concepto de función o aplicación ente dos conjuntos es necesario para la definición de sucesión.

Sucesión de números reales (5´59")     Sinopsis:
  • Definición de sucesión de números reales como aplicación entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales.
  • Término general de una sucesión.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Concepto_de_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"
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