Plantilla:Ecuaciones con radicales

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 17:06 29 ago 2016

Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para resolverlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales

Resuelve las ecuaciones:

a) $\sqrt{2x-3} +1=x\;\!$

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!$

Solución:

a) $\sqrt{2x-3} +1=x$

Aislamos la raíz:

$\sqrt{2x-3}=x-1$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$2x-3=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -4x + 4 \rightarrow x=2 \ (doble)$

Comprobación: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$

Luego es válida $x=2 \;$ .

b) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4$

Aislamos una de las dos raíces:

$\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}$

Aislamos la raíz:

$x -26 = -8\sqrt{x+7}$

Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow \begin{cases}x_1=2 \\ x_2=114 \end{cases}$

Comprobación: $\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \end{cases}$

Sólo es válida $x_1=2 \;$

Actividad: Ecuaciones con radicales

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $\sqrt{5x+6}=3+2x$

b) $x+\sqrt{7-3x}=1$

c) $\sqrt{2-5x}+x\cdot \sqrt{3}=0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve sqrt(5x+6)=3+2x b) solve x+sqrt(7-3x)=1 c) solve sqrt(2-5x)+x*sqrt(3)=0

Ejercicios

Ejercicios propuestos: Ecuaciones con radicales

3. Resuelve:

a) $-\sqrt{2x-3} + 1 = x$

b) $\sqrt{2x-3} - \sqrt{x+7}=4$

c) $2 + \sqrt{x} = x$

d) $2 - \sqrt{x} = x$

e) $\sqrt{3x+3} - 1 = \sqrt{8-2x}$

4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h en línea recta hasta P, y hemos caminado a 5 km/h de P a C.

Hemos tardado, en total, 99 min (99/60 h). ¿Cuál es la distancia, x, de B a P? (Ver Fig. 1)

Fig.1

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_con_radicales"

 <math>\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}</math>
-Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
+Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
 <math>2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}</math>
-Aislamos la raíz
+Aislamos la raíz:
 <math>x -26 = -8\sqrt{x+7}</math>
-Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
+Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
 <math>x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow \begin{cases}x_1=2 \\ x_2=114 \end{cases}</math>

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