Concepto de sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sucesión de números reales
2 Ejercicios
3 Término general de una sucesión
4 Ejercicios
5 Videotutoriales

Sucesión de números reales

(pág. 56)

Una sucesión de números reales es una función $f \;$ , que a cada número natural $n \;$ le asocia un número real $a_n \;$

$\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}$

Esto genera el conjunto ordenado

$\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}$

que se llaman los términos de la sucesión.

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Normalmente hablaremos de la sucesión de términos $\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}$ en lugar de la sucesión $f \;$ .

Ejercicios resueltos: Concepto de sucesión

Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:

a) $\{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... \} \;$

b) $\{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \} \;$

c) $\{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;$

d) $\{ 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... \} \;$

e) $\{ 110, 90, 70, 50, 30, ... \} \;$

f) $\{ 1, 3, 6, 8, 16, 18, 36, ... \} \;$

Solución:

a) Cada término es el cuadrado del lugar que ocupa.

$a_7=49,\ a_8=64$

b) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 2 el anterior.

$b_7=128,\ b_8=256$

c) Cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por -3 el anterior.

$c_7=-243,\ c_8=729$

d) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores.

$d_7=42,\ d_8=68$

e) Cada término, a partir del segundo, se obtiene restándo 20 al anterior.

$e_6=10,\ e_7=-10$

f) Los términos pares, a partir del segundo, se obtienen sumando 2 al anterior.

$f_8=38 \;$

y los términos impares, a partir del tercero, se obtienen multiplicando por 2 el anterior.

$f_9=76 \;$

Ejercicios

(pág. 52)

Ejercicios propuestos: Concepto de sucesión

1. Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:

a) $\{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;$

b) $\{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;$

c) $\{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;$

d) $\{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;$

e) $\{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;$

f) $\{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;$

g) $\{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;$

h) $\{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;$

Término general de una sucesión

(pág. 53)

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por $a_n\;$ , al término que representa a uno cualquiera de ella. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por $\{ a_n\} \;$

Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: $a_n=f(n)\;$ . Dándole a n un valor, se obtiene el término correspondiente.

Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores. En estos casos se suele dar una ley de recurrencia, una regla que relaciona cada término con sus anteriores.

(pág. 57)

Ejercicios resueltos: Concepto de sucesión

Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes, añadir dos nuevos términos a cada una y dar su término general o la ley de recurrencia:

a) $\{ 1, 4, 9, 16, 25, ... \} \;$

b) $\{ 5, 8, 13, 20, 29, ... \} \;$

c) $\{ 1, -1, 1, -1, 1, ... \} \;$

d) $\{ -1, 2, -3, 4, -5, ... \} \;$

e) $\{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;$

f) $\{ 1, 2, 6, 24, 120, ... \} \;$

g) $\{ 1, 3, 6, 8, 16, ... \} \;$

Solución:

a) Son los cuadrados de los números naturales

$a_6=36, \ a_7=49$

Término general: $a_n=n^2 \;$

b) Cada término es cuatro unidades mayor que el correspondiente de la sucesión del apartado a)

$b_6=40, \ b_7=53$

Término general: $b_n=n^2+4\;$

c) Los términos impares valen 1 y los pares -1.

$c_6=-1, \ c_7=1$

Término general: $a_n=(-1)^{n+1}\;$

d) Los términos son los números naturales con los signos alternando: pares positivos e impares negativos.

$d_6=6, \ d_7=-7$

Término general: $a_n=(-1)^{n+1} \cdot n \;$

e) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por -3.

$e_6=-243, \ e_7=729$

Término general: $a_n=(-3)^{n-1} \;$

f) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por el número del lugar que ocupa. Es recurrente.

$f_6=f_5 \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720, \ f_7=720 \cdot 7 = 5040$

La ley de recurrencia es $f_1=1;~f_n=f_{n-1} \cdot n,~ \forall n \ge 2$

También se puede dar un término general: $f_n=n!\;$

g) Los términos pares se obtiene sumando 2 al anterior y los impares, apartir del tercero, multiplicando por 2 el anterior.

$g_6=16+2=18, \ g_7=18 \cdot 2 = 36$

La ley de recurrencia es $g_1=1;~g_n= \left\{\begin{matrix} g_{n-1} + 2,~ \forall n \ par \qquad \qquad ~~ \\ g_{n-1} \cdot ~ 2,~ \forall n \ge 3 \ , n \ impar \end{matrix} \right.$

Actividad: Termino general de una sucesión

1. Intenta escribir una expresión que sirva para calcular cualquier término de las sucesiones siguientes:

a) $\{1,2,3,4,5,...\}\;$ b) $\{1,4,9,16,...\}\;$ c) $\{1,3,5,7,...\}\;$

d) $\{ {1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},...\}$ e) $\{-1,1,-1,1,-1,...\}\;$ f) $\{1,-1,1,-1,1,...\}\;$

2. Dada la sucesión de término general $a_n=n^2-4n\;$ :

a) Halla los cinco primeros términos.

b) Halla el término $a_{10} \;$

3. Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo primer término es 2 y todos los demás se obtienen sumando 5 al término anterior.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 1,2,3,4,5,...

b) 1,4,9,16,...

etc.

a) n^2-4n for n=1 to 5

b) n^2-4n for n=10

3. a(1)=2,a(n)=a(n-1)+5 (sucesión recurrente)

Ejercicios

(pág. 53)

Ejercicios propuestos: Término general de una sucesión

2. Forma una sucesión recurrente con los siguientes datos:

$a_1=2, \ a_2=3, \ a_n=a_{n-2}+a_{n-1}$

3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como témino general:

$a_n=3+5(n-1), \ b_n=3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \ c_n=(-1)^n \cdot 2^n$

$d_n=(n-1)(n-2), \ e_n=n^2+(-1)^n \cdot n^2$

4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea $a_n=a_{n-1}+n \;$

5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:

a) $\{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;$

b) $\{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;$

c) $\{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;$

d) $\{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;$

e) $\{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;$

f) $\{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;$

g) $\{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;$

h) $\{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Videotutoriales

Aplicación entre conjuntos (6´25") Sinopsis:

El concepto de función o aplicación ente dos conjuntos es necesario para la definición de sucesión.

Sucesión de números reales (5´59") Sinopsis:

Definición de sucesión de números reales como aplicación entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales.
Término general de una sucesión.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Concepto_de_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 :a) Son los cuadrados de los números naturales
 ::<math>a_6=36, \ a_7=49</math>
-::Término general: <math>b_n=n^2 \;</math>
+::Término general: <math>a_n=n^2 \;</math>
 :b) Cada término es cuatro unidades mayor que el correspondiente de la sucesión del apartado a)

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