Fórmula del binomio de Newton (1ºBach)

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Binomio de Newton

Teorema: Fórmula del binomio de Newton

El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio viene dado por la siguiente fórmula:

$(a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n} b^n,$

que podemos expresar de forma abreviada de la siguiente manera:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k$

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karaji alrededor del año 1000.

Coeficientes binomiales

Llamaremos coeficientes binomiales a los coeficientes ${n \choose k}$ , de los términos del desarrollo del binomio de Newton.

Propiedad: Relación entre los coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales cumplen la siguiente relación:

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ${n \choose k}$ ordenados en forma triangular.

$\begin{matrix} {0 \choose 0} \\ {1 \choose 0}{1 \choose 1} \\ {2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2} \\ {3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3} \\ {4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4} \\ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \end{matrix}\;$

Cada casilla del triángulo se obtiene como suma de las dos que hay justo encima de ella. (Por la propiedad anterior)

Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.

Propiedades

Los coeficientes del desarrollo de (a+b)ⁿ se encuentran en la línea "n+1" del triángulo de Pascal.
El triángulo de Pascal es simétrico.
La suma de todos los valores de la fila "n" del triángulo de Pascal es igual a 2^n.

Demostración:

Esto es inmediato, por como está construido el triángulo de Pascal.
Esto es así porque ${n\choose {n-p}} = {n\choose p}$ .
Esto es debido a que, por el teorema del binomio aplicado a (1+1)ⁿ:

$2^n = (1+1)^n= {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n}$

Triángulo de Pascal para n=10.

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

Actividad: Binomio de Newton

Halla el desarrollo de (a+b)⁷.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

expand (a+b)^7

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Categorías: Matemáticas | Números

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