Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Suma de números naturales
2 Propiedades de la suma
3 Resta de números naturales
4 Multiplicación o producto
5 Propiedades de la multiplicación
- 5.1 Producto por 10, 100, 1000, ....
6 División
- 6.1 Cociente por defecto y por exceso
- 6.2 Propiedades de la división
7 Orden en el que han de hacerse las operaciones
8 Uso del Paréntesis

Suma de números naturales

Sumar es unir, juntar, añadir.

Propiedades de la suma

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Resta de números naturales

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra es decir , calcular la diferencia.

Restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

Solución:

Multiplicación o producto

Multiplicar, es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación 1 Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Multiplicación 2 Descripción:

Asocia los factores con su producto.

Propiedades de la multiplicación

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva Descripción:

Asocia las expresiones numéricas equivalentes.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10. 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

División

Dividir consiste en repartir en partes iguales o partir en partes de un determinado tamaño.

Una división puede ser exacta o entera dependiendo de su resto:

Si el resto es 0 la división es exacta y el dividendo es igual al divisor por cociente: $D = d.c\,$
Si el resto es distinto de cero la división es entera y el dividendo es igual al divisor por cociente mas el resto: $D= d . c + r\,$

Actividad Interactiva: División

Actividad 1: Cálculo mental con divisiones.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: División entera.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 40 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) Supongamos ahora que fuesen 43 turistas . ¿ Cuántos taxis completarían ?.

c) Y si nos preguntaran ¿cuántos taxis se necesitan?

d) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) $40 : 4 = 10\,$ ---> completarán 10 taxis. ( $40= 10 \cdot 4$ )
b) $43 : 4 = 10\,$ y sobrarían 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
c) La respuesta sería 11, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

d) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división

Alteraciones del cociente en una división

Exacta: Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplica o se divide por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía.
Entera: Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número

Ejemplo: Propiedades de la división

Observa la siguiente división exacta , $360 : 120 = 3\,$ , y escribe los cocientes de las siguientes divisiones sin hacerlas:

a) $(3 \cdot 360) : (3 \cdot 120)$

b) $36 : 12\,$

c) $18 : 6\,$

Solución:

a) 3; b) 3; c) 3.

Ejercicio: Propiedades de la división

Observa la siguiente división entera , 350: 8 = 43 y resto 6 , y calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas:

a) $(350 \cdot 2) : (8 \cdot 2)$

b) $(350 \cdot 3) : (8 \cdot 3)$

c) $(350 : 2) : (8 : 2)\,$

Solución:

a) cociente=43 resto=12

b) cociente=43 resto=18

c) cociente=43 resto=3

Orden en el que han de hacerse las operaciones

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender:

1º a los paréntesis.
2º a las multiplicaciones y a las divisiones.
3º a las sumas y a las restas.

Ejercicio: Prioridad en las operaciones

2. Calcula utilizando el orden de operaciones

a) 4 . 6 + 2 . 8 - 3 . 4 =

b) 4 . (6 + 2) . 8 - 3 . 4 =

c) 4 . 6 + 2 . (8 - 3) . 4 =

d) 4 . 6 + (2 . 8 - 3) . 4 =

e) 4 . (6 + 2 . 8) - 3 . 4 =

f) 4 . (6 + 2 . 8 - 3) . 4 =

Solución:

a)28; b)244; c)64; d)76; e)76; f)304;

Uso del Paréntesis

En las expresiones con operaciones combinadas, los paréntesis empaquetan resultados y modifican el orden en que han de realizarse las operaciones.

Ejemplo: Sumas y Restas con paréntesis y sin paréntesis

Jesús está mirando los últimos movimientos en su cuenta corriente. Tenía 2500 €; primero pago 450 € de gas, después pagó 325 € de luz y por último ingresó 1000 €.

¿Cuánto dinero le queda a Jesús en su cuenta?.

Solución:

Se puede hacer de dos formas:

a) 2500 - 450 - 325 + 1000 = 3500 - 775 = 2725

b) 2500 - ( 450 +325 )+ 1000 = 2500 -775 + 1000 = 2725

En ambos casos la solución es 2725 €.

Ejercicio: Sumas y restas con paréntesis

1. Calcula

a) 52 - (25 - 13)=

b) 40 - (32 - 16)=

c) 28 + (11 - 6)=

d) 37 + (15 - 12)=

Solución:

a) 40; b) 24; c) 33; d) 40

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Categorías: Matemáticas | Números

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Tabla de contenidos

Suma de números naturales

Propiedades de la suma

Resta de números naturales

Multiplicación o producto

Propiedades de la multiplicación

Producto por 10, 100, 1000, ....

División

Cociente por defecto y por exceso

Propiedades de la división

Orden en el que han de hacerse las operaciones

Uso del Paréntesis

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas

 {{p}}
 {{p}}
-==Suma y resta==
+==Suma de números naturales==
-{{Caja Amarilla|texto=*'''Sumar''' es unir, juntar, añadir.
+{{Caja Amarilla|texto='''Sumar''' es unir, juntar, añadir.
-*'''Restar''' es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra es decir , calcular la diferencia.
 }}
 {{p}}
 }}
 {{p}}
-Nota: La resta
 {{AI_enlace
 |titulo1=Sumas
 |descripcion=Cálculo mental con sumas.
 |url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/03.htm
+}}
+{{p}}
+==Resta de números naturales==
+{{Caja Amarilla|texto='''Restar''' es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra es decir , calcular la diferencia.
 }}
 {{p}}
 |url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/04.htm
 }}
-{{p}}
 {{p}}
 {{ejercicio
 |sol=
 }}
-}}
-==Uso del Paréntesis==
-{{Caja Amarilla|texto=En las expresiones con operaciones combinadas, los paréntesis empaquetan resultados y modifican el orden en que han de realizarse las operaciones.
-}}
-<br>
-{{Ejemplo
-|titulo=Ejemplo: ''Sumas y Restas con paréntesis y sin paréntesis''
-|enunciado=
-:Jesús está mirando los últimos movimientos en su cuenta corriente. Tenía 2500 €; primero pago 450 € de gas, después pagó 325 € de luz y por último ingresó 1000 €.
-:¿Cuánto dinero le queda a Jesús en su cuenta?.
-|sol=
-Se puede hacer de dos formas:
-{{p}}
-:a) 2500 - 450 - 325 + 1000 = 3500 - 775  = 2725
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-{{p}}
-En ambos casos la  solución es 2725 €.
-}}
-<br>
-{{ejercicio
-|titulo=Ejercicio: ''Sumas y restas con paréntesis''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''1.''' Calcula
-{{p}}
-:a) 52 - (25 - 13)=
-:b) 40 - (32 - 16)=
-:c) 28 + (11 -  6)=
-:d) 37 + (15 - 12)=
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-|sol=
-a) 40; b) 24; c) 33; d) 40}}
 }}
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Multiplicación''|cuerpo=
+{{AI_enlace
-{{ai_cuerpo
+|titulo1=Multiplicación 1
-|enunciado='''Actividad 1: '''Cálculo mental con multiplicaciones.
+|descripcion=Cálculo mental con multiplicaciones.
-|actividad=
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/05.htm
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/05.htm
-width=800
-height=650
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/Anaya/Anaya07/1ESO_ALUMNO/datos/01/05.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 }}
+{{p}}
+{{AI_enlace
+|titulo1=Multiplicación 2
+|descripcion=Asocia los factores con su producto.
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/tabla.htm
 }}
-<br>
-{{ejercicio
-|titulo=Ejercicio: ''la multiplicación''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-'''1.''' Expresa como sumas de sumandos repetidos los siguientes productos
 {{p}}
-:a) 3 . 5 =
+==Propiedades de la multiplicación==
-:b) 3 . 243 =
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la multiplicación|enunciado=
-:c) 7 . 5 =
+*'''Propiedad conmutativa''': El producto no varía al cambiar el orden de los factores.
 {{p}}
-|sol=
+<center><math>a \cdot b = b \cdot a\,</math> </center>{{p}}
-a) 3+3+3+3+3 ó 5+5+5 ;   b) 3. 243 = 243 . 3 = 243 + 243 + 243;   c) 7+7+7+7+7 ó 5+5+5+5+5+5+5;}}
+*'''Propiedad asociativa''': El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.{{p}}
+<center><math>(a + b ) + c = a + ( b + c )\,</math></center>
+*'''Propiedad distributiva''': El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.{{p}}
+<center><math>a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c</math> </center>
 }}
-<br>
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Pregunta la tabla de multiplicar''|cuerpo=
+{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1: '''Asocia los factores con su producto
-|actividad=
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/tabla.htm
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-height=550
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/tabla.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-==Propiedades de la multiplicación==
+'''Conmutativa:'''
-<center><table width="600" border="1">
-  <tr bgcolor="#CCCCCC">
-    <td width="295"><div align="center" class="Estilo5"><span class="Estilo3">Propiedad Conmutativa </span></div></td>
-    <td width="289"><div align="center" class="Estilo5"><span class="Estilo3">Propiedad Asociativa</span></div></td>
-  </tr>
-  <tr>
-    <td><div align="center"><span class="Estilo7">El producto  no var&iacute;a al cambiar el orden de los factores </span></div></td>
-    <td><div align="center"><span class="Estilo7">El resultado de la multiplicaci&oacute;n  es independiente de la forma en que se agrupen los factores</span></div></td>
-  </tr>
-  <tr>
-    <td><div align="center">
-      <p><strong><math>a \cdot b = b \cdot a</math> </strong></p>
-      <p><strong><math>8 \cdot 6 = 6 \cdot 8</math> </strong></p>
-      <p><strong><math>48\,</math> </strong></p>
-    </div></td>
-    <td><div align="center">
-      <p><strong><math>(a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c )</math> </strong></p>
-      <p><strong><math>( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot( 2 \cdot 6 )</math></strong></p>
-      <p><strong><math>36\,</math></strong></p>
-    </div></td>
-  </tr>
-</table>
-</center>
 {{p}}
-===La distributiva del producto===
+<center><math>8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,</math></center>
-{{Caja Amarilla|texto=El producto de un números por una suma (o resta ), es igual a la suma (o resta) de los productos parciales del número por cada sumando.
-*<math>a \cdot ( b + c ) = a \cdot b + a \cdot c</math>
-*<math>a \cdot ( b - c ) = a \cdot b - a \cdot c</math>
-}}
 {{p}}
-{{Ejemplo_simple
+<center><math>48 = 48\,</math></center>
-|titulo=Ejemplo
+{{p}}
-|contenido=
+'''Asociativa:'''
-Podemos calcular {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>100 \cdot 58 + 100 \cdot 12</math>}} de dos formas distintas:
 {{p}}
-*'''Primera forma:'''
+<center><math>( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,</math></center>
-::<math>100 \cdot 58 + 100 \cdot 12 = 5800 + 1200 = 7000</math>
+{{p}}
-*'''Segunda forma:'''
+<center><math>6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,</math></center>
-::<math>100 \cdot 58 + 100 \cdot 12 = 100 \cdot (58 + 12) = 100 \cdot 70 = 7000</math>
+{{p}}
+<center><math>36 = 36\,</math></center>
+{{p}}
+'''Distributiva:'''
+{{p}}
+<center><math> 3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot  2 + 3 \cdot 6 \,</math></center>
+{{p}}
+<center><math>3 \cdot 8 = 6 + 18 \,</math></center>
+{{p}}
+<center><math>24 = 24\,</math></center>
 }}
 {{p}}
 |sol=
 Podemos resolver el problema de dos formas:
 *'''Primera forma:'''
 ::Alfredo-----> <math>15 \cdot 4 = 60</math>
 ::Teresa------> <math>15 \cdot 2 = 30</math>
-::Total---------> <math>(60 + 30)= 90\,</math> €
+::Total---------> <math>15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,</math> €
 *'''Segunda forma:'''
-::Alfredo + Teresa compran 4 + 2 entradas
+::Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas
 ::Luego en total gastan entre los dos: <math>15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90</math> €
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedad Distributiva''|cuerpo=
+{{AI_enlace
-{{ai_cuerpo
+|titulo1=Propiedad distributiva
-|enunciado=:'''Actividad 1: '''Asocia las expresiones numéricas equivalentes
+|descripcion=Asocia las expresiones numéricas equivalentes.
-|actividad=
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/distributiva.htm
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/distributiva.htm
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-height=550
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/ciclo1/distributiva.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
 }}
+{{p}}
 ===Producto por 10, 100, 1000, ....===
 }}
 }}
+==Uso del Paréntesis==
+{{Caja Amarilla|texto=En las expresiones con operaciones combinadas, los paréntesis empaquetan resultados y modifican el orden en que han de realizarse las operaciones.
+}}
+<br>
+{{Ejemplo
+|titulo=Ejemplo: ''Sumas y Restas con paréntesis y sin paréntesis''
+|enunciado=
+:Jesús está mirando los últimos movimientos en su cuenta corriente. Tenía 2500 €; primero pago 450 € de gas, después pagó 325 € de luz y por último ingresó 1000 €.
+:¿Cuánto dinero le queda a Jesús en su cuenta?.
+|sol=
+Se puede hacer de dos formas:
+{{p}}
+:a) 2500 - 450 - 325 + 1000 = 3500 - 775  = 2725
+:b) 2500 - ( 450 +325 )+ 1000 = 2500 -775 + 1000 = 2725
+{{p}}
+En ambos casos la  solución es 2725 €.
+}}
+<br>
+{{ejercicio
+|titulo=Ejercicio: ''Sumas y restas con paréntesis''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=
+'''1.''' Calcula
+{{p}}
+:a) 52 - (25 - 13)=
+:b) 40 - (32 - 16)=
+:c) 28 + (11 -  6)=
+:d) 37 + (15 - 12)=
+{{p}}
+|sol=
+a) 40; b) 24; c) 33; d) 40}}
+}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]