Algunos límites importantes (1ºBach)

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(El número áureo, <math>\phi \;</math>)
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==El número áureo, <math>\phi \;</math>== ==El número áureo, <math>\phi \;</math>==
-{{Tabla75|celda2=+{{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}}
-[[Imagen:fibonacci.jpg|thumb|[[Fibonacci|Leonardo de Pisa (Fibonacci)]]]]+{{p}}
-|celda1=+
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-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center>+
- +
-dividimos cada término entre el anterior, tenemos:+
- +
-<center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> +
- +
-que expresada con decimales nos da:+
- +
-<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> +
----------------+
-'''Demostración:'''+
- +
-Por construcción de la sucesión de Fibonacci:+
- +
-<center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center>+
- +
-Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>:+
- +
-<center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+
- +
-Tomando límites en ambos miembros:+
- +
-<center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+
- +
-Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos:+
- +
-<center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center>+
- +
-ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:+
- +
-<center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center>+
- +
-con lo que queda demostrado.+
- +
-}}+
-}}+
{{Video_enlace {{Video_enlace
|titulo1=La divina proporción: el número phi |titulo1=La divina proporción: el número phi
Línea 151: Línea 97:
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 +
==Suma de los términos de una progresión geométrica== ==Suma de los términos de una progresión geométrica==
{{p}} {{p}}

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Tabla de contenidos

[esconder]

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se define como el límite de una sucesión:
lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e


Dada la sucesión:
a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}
se cumple que:
lim \, a_n= e \;
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos
  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

Ejercicios

wolfram

Actividad: Algunos límites importantes


1. Dada la sucesión de Fibonacci F_n \;
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula los 10 primeros términos de \frac{F_{n+1}}{F_{n}}.
c) Calcula lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}

2. Dada la sucesión \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n

3. Calcula lim \ \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n

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