Algunos límites importantes (1ºBach)
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==El número áureo, <math>\phi \;</math>== | ==El número áureo, <math>\phi \;</math>== | ||
- | {{Tabla75|celda2= | + | {{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}} |
- | [[Imagen:fibonacci.jpg|thumb|[[Fibonacci|Leonardo de Pisa (Fibonacci)]]]] | + | {{p}} |
- | |celda1= | + | |
- | {{Teorema|titulo=''La sucesión de Fibonacci y el número áureo'' | + | |
- | |enunciado= | + | |
- | Si a partir de la '''sucesión de [[Fibonacci]]''' | + | |
- | + | ||
- | <center><math>F_n\;</math> = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,</center> | + | |
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- | construimos, por recurrencia, la sucesión | + | |
- | + | ||
- | <center><math>b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}</math></center> | + | |
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- | se cumple que: | + | |
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- | <center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center> | + | |
- | |demo= | + | |
- | '''Comprobación:''' | + | |
- | Si en la sucesión de Fibonacci | + | |
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- | <center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | + | |
- | + | ||
- | dividimos cada término entre el anterior, tenemos: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> | + | |
- | + | ||
- | que expresada con decimales nos da: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | + | |
- | --------------- | + | |
- | '''Demostración:''' | + | |
- | + | ||
- | Por construcción de la sucesión de Fibonacci: | + | |
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- | <center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center> | + | |
- | + | ||
- | Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | + | |
- | + | ||
- | Tomando límites en ambos miembros: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center> | + | |
- | + | ||
- | Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center> | + | |
- | + | ||
- | ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es: | + | |
- | + | ||
- | <center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center> | + | |
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- | con lo que queda demostrado. | + | |
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- | }} | + | |
- | }} | + | |
{{Video_enlace | {{Video_enlace | ||
|titulo1=La divina proporción: el número phi | |titulo1=La divina proporción: el número phi | ||
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==Suma de los términos de una progresión geométrica== | ==Suma de los términos de una progresión geométrica== | ||
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Revisión de 12:33 8 sep 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
El número e
El número áureo,
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci
= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,
construimos, por recurrencia, la sucesión
Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:
Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
- Sea una progresión geométrica de razón y sea la suma de sus n primeros términos
- Si , entonces el límite de existe y su valor es:
- Si , entonces el límite de es o :
- Si , entonces el límite de no existe.
Ejercicios
Actividad: Algunos límites importantes
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