Plantilla:Progresiones geométricas

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-==Progresiones geométricas==+{{def progresion geometrica}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Una '''progresión geométrica''' es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, <math>r\;\!</math>, que llamaremos '''razón'''+
-}}+
{{p}} {{p}}
-Por ejemplo: 
-<center>[[Imagen:prog_geometrica.png]]</center> 
- 
-es una progresión geométrica de razón r=2. 
- 
===Término general de una progresión geométrica=== ===Término general de una progresión geométrica===
-{{Teorema+{{Término general de una progresión geométrica}}
-|titulo=''Término general de una progresión geométrica''+
-|enunciado=+
-Sean <math>a_1, a_2, a_3, ..... \;\!</math>términos de una progresión geométrica de razón <math>r\;\!</math>. +
- +
-Entonces se cumple que: +
-{{Caja|contenido=+
-<math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>+
-}}+
-{{p}}+
-|demo=+
-En efecto, razonando por '''inducción''':+
- +
-<center><math>a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!</math>+
- +
-<math>a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!</math>+
- +
-<math>a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!</math>+
- +
-........................+
- +
-<math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>+
-}}+
- +
-</center>+
-{{p}}+
- +
- +
===Suma de términos de una progresión geométrica=== ===Suma de términos de una progresión geométrica===
-{{Teorema+{{Suma de términos de una progresión geométrica}}
-|titulo=Suma de términos de una progresión geométrica+
-|enunciado=+
-La suma de los '''n''' primeros términos de una progresión geométrica es:+
{{p}} {{p}}
-{{Caja|contenido=<math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math>}}+===Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica===
 +{{Suma infinitos términos de una progresión geométrica}}
{{p}} {{p}}
-|demo= 
-Efectuamos la siguiente resta: 
- 
-::<math>r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r</math>{{p}} 
-:<math>-\;</math> 
-::<math>S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}} 
-::______________________________________________________________________________{{p}} 
-::<math>r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r</math> 
- 
-por tanto: 
- 
-<center><math>S_n(r-1)=a_n r-a_1\;</math></center> 
- 
-y despejando 
- 
-<center><math>S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}</math></center> 
- 
-}} 
-{{p}} 
-{{Teorema 
-|titulo=Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica 
-|enunciado= 
-La suma de '''todos''' los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math> se obtiene así: 
-<center> 
-{{Caja|contenido=<math>S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>}} 
-|demo= 
-La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado [[Algunos límites importantes (1ºBach)|Algunos límites importantes]]. 
- 
-Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito. 
- 
-<center><math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math></center> 
- 
-Como <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, cuando n tiende a infinito, <math>r^n\;</math> tiende a 0. 
- 
-Entonces, <math>S_n\;</math> tiende a <math>\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math> y a ese valor límite de <math>S_n\;</math> lo llamamos <math>S_{\infty}</math>. 
- 
-}} 
- 
- 
===Producto de términos de una progresión geométrica=== ===Producto de términos de una progresión geométrica===
-{{Teorema+{{Producto de términos de una progresión geométrica}}
-|titulo=Producto de términos de una progresión geométrica+
-|enunciado=+
-El producto de los '''n''' primeros términos de una progresión geométrica es:+
-{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P_n=\sqrt{(a_1.a_n)^n}</math>}}+
-{{p}}+
-|demo=Véase en los siguientes videotutoriales+
-}}+
-{{p}}+

Revisión actual

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r = 2\;.

Tabla de contenidos

[esconder]
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Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica

El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica

En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

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Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica

Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?

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Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

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Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de "n" términos de una progresión geométrica

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

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