Algunos límites importantes (1ºBach)
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| |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | ||
| - | |enunciado=:Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos | + | |enunciado=Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos |
| - | ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | + | :* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: |
| <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> | ||
| - | ::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | + | :*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: |
| <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | ||
| - | ::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | + | :*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. |
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| ==Actividades== | ==Actividades== | ||
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Revisión de 11:56 18 sep 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 64)
El número e
 La sucesión del número e El número  |  |
, se define como el límite de una sucesión:
(Pág. 65)
El número áureo, 
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci
= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,construimos, por recurrencia, la sucesión
Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:
Demostración:[Mostrar]
, tenemos:
Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea 
una progresión geométrica de razón 
y sea 
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de 
existe y su valor es:
- Si
- Si
, entonces el límite de es 
o 
:
- Si
- Si
, entonces el límite de no existe.
- Si
Demostración:[Mostrar]
y 
.
, entonces
y 
. Mientras que si 
, entonces 
va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión 
, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
, la progresión quedaría constante:
, .
, cuyo límite es:
Actividades
.
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes
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