Fórmulas trigonométricas (1ºBach)
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'''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | '''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
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'''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | '''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> | ||
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'''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | '''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} | ||
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<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> | <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> | ||
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*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> | *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> | ||
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*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> | *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> | ||
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*En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> | *En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> | ||
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<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> | <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> | ||
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<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> | ||
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'''I.3:''' | '''I.3:''' | ||
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<math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> | <math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> | ||
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::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) | ::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) | ||
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::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> | ::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> | ||
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Revisión de 10:19 1 oct 2016
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Tabla de contenidos |
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
I.1:
I.2:
I.3:
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}](/wikipedia/images/math/9/e/7/9e7985dc90ee3de3954105c35a34cfb3.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
II.1:
II.2:
II.3:
Para las demostraciones basta sustituir por
y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:
![sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha](/wikipedia/images/math/1/8/4/184c9bd01baf63cc1007edd8187e4e66.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Calcula el valor exacto de (sin calculadora)
![= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}](/wikipedia/images/math/6/8/e/68e99048133e592c57714c4684a59a9a.png)
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo doble
III.1:
III.2:
III.3:
Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer
![\alpha= \beta \,](/wikipedia/images/math/3/d/0/3d0be6e882c7e0b2148c97180ef4de56.png)
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble
Calcula el valor de a partir de las razones trigonométricas de 60º.
![cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}](/wikipedia/images/math/9/7/6/97633a6d2e32ba68c84de7f7de1c5061.png)
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Razones trigonométricas del ángulo mitad
IV.1:
IV.2:
IV.3:
Teniendo en cuenta que y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:
![cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/2/d/6/2d6cb8460f136a346a6ff5d844d6b15f.png)
que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:
Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:
![cos \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/7/8/b782e5d756f94fbdbad19ed8d2ef136c.png)
![sen \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/0/a/8/0a8472913eb87ec965732d5fbafd5223.png)
![tg \, \cfrac{\alpha}{2}](/wikipedia/images/math/b/1/8/b188b23d8f944520712c8d445141b4b2.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad
Calcula el valor exacto de (sin calculadora).
![tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}](/wikipedia/images/math/f/d/0/fd0e79bd18f0cb499539572a81b415ce.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos
Transformaciones de sumas en productos
V.1:
V.2:
V.3:
V.4:
V.1 y V.2:
Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:
- I.1:
- II.1:
Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:
- Sumando:
[1]
- Restando:
[2]
Hacemos los siguientes cambios de variable:
Resolviendo este sistema:
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas |