Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 09:16 1 oct 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Ejercicios propuestos)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 10:19 1 oct 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 10: Línea 10:
|enunciado= |enunciado=
'''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> '''I.1:'''{{b4}}<math>sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
'''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> '''I.2:'''{{b4}}<math>cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
'''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}} '''I.3:'''{{b4}}{{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>}}
|demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]] |demo=[[Imagen:senosuma.png|right|250px]]
'''I.1:''' '''I.1:'''
- +{{p}}
<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math> <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}</math>
- +{{p}}
*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math> *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math> *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math> *En el triángulo '''OBA''': <math>\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}</math>
- +{{p}}
Sustituyendo: Sustituyendo:
- +{{p}}
<math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> <math>sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> ::::<math>=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha</math> ::::<math>= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha</math>
- +{{p}}
- +
'''I.2:''' '''I.2:'''
- +{{p}}
<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math> <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}</math>
- +{{p}}
*En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math> *En el triángulo '''ABC''': <math>\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha</math>
 +{{p}}
*En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math> *En el triángulo '''OAQ''': <math>\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha</math>
- +{{p}}
Sustituyendo: Sustituyendo:
- +{{p}}
<math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> <math>cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math> ::::<math>\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=</math>
 +{{p}}
::::<math>= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math> ::::<math>= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta</math>
- +{{p}}
'''I.3:''' '''I.3:'''
- +{{p}}
<math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math> <math>tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=</math>
- +{{p}}
::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>) ::::(Dividiendo numerador y denominador por <math>cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta</math>)
- +{{p}}
::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math> ::::<math>=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}</math>
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Video_enlace {{Video_enlace
-|titulo1=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos+|titulo1=Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos (con demostración)
|duracion=12´41 |duracion=12´41
|url1=http://www.youtube.com/watch?v=b1C_O92pECI |url1=http://www.youtube.com/watch?v=b1C_O92pECI
-|sinopsis=Videotutorial. +|sinopsis=Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión de 10:19 1 oct 2016

Menú:
Enlaces internos Para repasar o ampliar Enlaces externos
Indice
Descartes
Manual Casio
 WIRIS
Geogebra
Calculadoras

Tabla de contenidos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

ejercicio

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1:    sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.2:    cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.3:    tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

Demostración:

I.1:

sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}

  • En el triángulo ABC: \overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha

  • En el triángulo OAQ: \overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha

  • En el triángulo OBA: \begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}

Sustituyendo:

sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=

=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=

= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha

I.2:

cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}

  • En el triángulo ABC: \overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha

  • En el triángulo OAQ: \overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha

Sustituyendo:

cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=

\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=

= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

I.3:

tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=

(Dividiendo numerador y denominador por cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta)

=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos (con demostración) (12´41)     Sinopsis:

Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 75^\circ \, (sin calculadora)

Solución:

sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=

= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}

3 ejercicios (5´23")     Sinopsis:

Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.

Ejercicio (3´52")     Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio (3´01")     Sinopsis:

Videotutorial.

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

ejercicio

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

II.1:    sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.2:    cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta

II.3:    tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}

Demostración:

Para las demostraciones basta sustituir \alpha - \beta \, por \alpha + (-\beta) \, y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:

sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos (7´08)     Sinopsis:

Videotutorial.

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Calcula el valor exacto de sen \, 15^\circ (sin calculadora)

Solución:

sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=

= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}

Razones trigonométricas del ángulo doble

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo doble

III.1:    sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha

III.2:    cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha

III.3:    tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}

Demostración:
Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer \alpha= \beta \,.

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble

Calcula el valor de cos \, 120^\circ \, a partir de las razones trigonométricas de 60º.

Solución:
cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}

Razones trigonométricas del ángulo mitad

ejercicio

Razones trigonométricas del ángulo mitad

IV.1:    sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}

IV.2:    cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}

IV.3:    tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}

Demostración:

Teniendo en cuenta que \alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:

cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}

que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:

\begin{cases} cos \, \alpha = cos^2 \cfrac{\alpha}{2} - sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1= cos^2 \cfrac{\alpha}{2} + sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \end{cases}

Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:

\begin{cases} 1 + cos \, \alpha = 2 \, cos^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1 - cos \, \alpha = 2 \, sen^2 \cfrac{\alpha}{2}\end{cases}

De estas igualdades se despejan cos \, \cfrac{\alpha}{2} y sen \, \cfrac{\alpha}{2}, y a partir de ellos, se obtiene el valor de tg \, \cfrac{\alpha}{2}.

Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad (8´03)     Sinopsis:

Videotutorial.

ejercicio

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad

Calcula el valor exacto de tg \, 22^\circ \, 30' (sin calculadora).

Solución:
tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}

Ejercicio (5´22")     Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio (4´58")     Sinopsis:

Videotutorial.

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

ejercicio

Transformaciones de sumas en productos

V.1:    sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.2:    sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

V.3:    cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}

V.4:    cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}

Demostración:

V.1 y V.2:

Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:

I.1: sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta
II.1: sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta

Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:

Sumando: sen \, (\alpha + \beta) +sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \beta [1]
Restando: sen \, (\alpha + \beta) -sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, cos \, \alpha \cdot sen \, \beta [2]

Hacemos los siguientes cambios de variable: \begin{cases} \alpha + \beta = A \\ \alpha - \beta = B \end{cases}

Resolviendo este sistema:

\begin{cases} \alpha = \cfrac{A+B}{2} \\ \beta = \cfrac{A-B}{2} \end{cases}

que sustituidas en [1] y [2] nos da V.1 y V.2.

Transformación de una suma y de una diferencia en un producto (6´46)     Sinopsis:

Videotutorial.

ejercicio

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos

Transforma en producto y calcula: sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ.

Solución:

sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}=

= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}

wolfram
Fórmulas trigonométricas
wolfram

Fórmulas trigonométricas

a) Calcula: sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ
b) Obtén: sen(x-y)\,
c) Factoriza: sen(x)+sen(y)\,

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) simplify sin(75º)-sin(15º)
b) expand sin(x-y)
c) factor sin(x)+sin(y)

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas

(Pág. 130-133)

5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/F%C3%B3rmulas_trigonom%C3%A9tricas_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda