Números complejos: Forma polar (1ºBach)

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-*<math>-z=r_{\phi + 180^\circ}</math>+*Su '''opuesto''' es <math>-z=r_{\phi + 180^\circ}</math>
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Tabla de contenidos

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Forma polar de un número complejo

Dado un número complejo z=a+bi\,

  • El módulo de z\, es la longitud del vector que lo representa, es decir, la distancia entre el afijo (a,b)\, y el origen (0,0)\,). Se designa por r=|z|\,.
  • El argumento de z\, (z \ne 0), es el ángulo que forma el vector con el eje X . Se designa por \phi=arg(z)\,. De los infinitos argumentos de un número complejo, al comprendido entre 0º y 360º se le llama argumento principal.

La forma polar del número complejo z \, (z \ne 0), se designa r_\phi \,, siendo r=|z|\, y \phi=arg(z)\,.

(El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar)

ejercicio

Propiedades

Si z= r_\phi\;, entonces:

  • Su opuesto es -z=r_{\phi + 180^\circ}
  • Su conjugado es \bar z = r_{-\phi}
Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.
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Fig. 1: Un número complejo queda determinado por su módulo y su argumento.

Paso de forma binómica a polar

ejercicio

Proposición

Dado un número complejo z=a+bi\, su forma polar r_\phi \, se obtiene de la siguiente manera:

  • r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\quad     
  • \phi=arctg \, \cfrac{b}{a}

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma binómica a polar

Pasa a forma polar el número complejo z=2+2i\,

ejercicio

Actividad interactiva: Paso de forma binómica a polar

Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:
a)1+2i\,     b)-2+3i\,     c) -3-i\,      d)5-4i\,

Paso de forma polar a binómica

Dado un número complejo r_\phi \,, su forma binómica a+bi\, se obtiene de la siguiente manera:

  • a=r \cdot cos \, \phi
  • b=r \cdot sen \, \phi

ejercicio

Ejemplo: Paso de forma polar a binómica

Pasa a forma binómica el número complejo z=2_{30^\circ}

ejercicio

Actividad interactiva: Paso de forma polar a binómica

Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:
a)1_{225^\circ}     b)4_{0^\circ}      c) 3_{270^\circ}     d)2_{295^\circ}     e)8_{90^\circ}     f)2_{120^\circ}

Forma trigonométrica de un número complejo

Según lo visto en el apartado anterior:

z=a+bi= r \cdot cos \, \phi + r \cdot sen \, \phi \cdot i=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión

z=r \, (cos \, \phi + i \, sen \, \phi)

ejercicio

Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo z=2_{60^\circ}

ejercicio

Ejercicios:Formas polar y trigonométrica de un número complejo

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