Números complejos: Forma polar (1ºBach)
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Como <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r \rightarrow x^2+y^2=r^2</math>, los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera: | Como <math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r \rightarrow x^2+y^2=r^2</math>, los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera: | ||
- | :'''a)''' La representación de <math>x^2+y^2=9\;</math> nos da la solución. Se trata de una circunferncia de centro O y radio 3. | + | :'''a)''' Representando la curva <math>x^2+y^2=9\;</math> se obtiene una circunferncia de centro O y radio 3. |
- | :'''b)''' La representación de <math>x^2+y^2<9\;</math> nos da la solución. Se trata de un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde. | + | :'''b)''' Representando la curva <math>x^2+y^2<9\;</math> se obtiene un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde. |
- | :'''c)''' La representación de <math>1 \le x^2+y^2 \le 9</math> nos da la solución. Se trata de una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes. | + | :'''c)''' Representando la curva <math>1 \le x^2+y^2 \le 9</math> se obtiene una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes. |
Como <math>tg \, \theta = \cfrac{y}{x} \rightarrow y= tg \, \theta \cdot x</math>: | Como <math>tg \, \theta = \cfrac{y}{x} \rightarrow y= tg \, \theta \cdot x</math>: | ||
- | :'''d)''' La representación de <math>y= tg \, \theta \cdot x</math> con x>0 me da la solución. Se trata de una semirecta abierta de origen O qye forma un ángulo de 30º con el eje X. | + | :'''d)''' Representando la recta <math>y= tg \, \theta \cdot x</math> con <math>x>0\;</math> se obtiene una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X. |
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Tabla de contenidos |
(Pág. 152)
Forma polar de un número complejo
Dado un número complejo
La forma polar del número complejo , se designa , siendo y . (El cero, al no tener argumento, no se puede poner en forma polar) |
En esta escena podrás ver como se representan los números complejos en forma polar. Mueve el deslizador para ver algunos ejemplos y completa los que faltan en tu cuaderno.
Paso de forma binómica a polar
Procedimiento
Dado un número complejo su forma polar se obtiene de la siguiente manera:
|
Ejemplo: Paso de forma binómica a polar
Pasa a forma polar:
- a)
- b)
- c)
a)
Calculamos el módulo:
Calculamos el argumento:
Solución:
b)
Solución:
c)
Solución:Pasa los siguientes números complejos a forma polar y comprueba tus resultados en la escena:
- a) b) c) d)
En esta escena puedes pasar un complejo de forma binómica a polar. Puedes variar los valores de a y b o mover el afijo con el ratón.
Actividad: Paso de forma binómica a polar a) Pasa a forma polar. b) Halla el argumento de . b) Halla el módulo de . Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: a) convert 1-i to polar form b) arg (1-i) in degrees o arg (1-i) c) | 1 − i | |
(Pág. 153)
Paso de forma polar a binómica
Ejemplo: Paso de forma polar a binómica
Pasa a forma binómica el número complejo
Calculamos la parte real:
Calculamos su parte imaginaria:
Pasa los siguientes números complejos a forma binómica y comprueba tus resultados en esta escena:
- a) b) c) d) e) f)
En esta escena puedes pasar un complejo de forma polar a binómica. Puedes variar los valores del módulo y del argumento.
Forma trigonométrica de un número complejo
Según lo visto en el apartado anterior:
Se llama forma trigonométrica de un número complejo, a la expresión
|
Ejemplo: Forma trigonométrica de un complejo
Pasa a forma trigonométrica el número complejo
Tan sólo hay que aplicar la fórmula:
Videotutorial.
Videotutorial.
Videotutorial.
Videotutorial.
Familias de complejos en forma polar
Ejercicio resuelto: Familias de complejos en forma polar
Representa los siguientes conjuntos de números complejos:
- a)
- b)
- c)
- d)
Como , los tres primeros apartados se resuelven de la siguiente manera:
- a) Representando la curva se obtiene una circunferncia de centro O y radio 3.
- b) Representando la curva se obtiene un círculo de centro O y radio 3sin la circunferencia del borde.
- c) Representando la curva se obtiene una corona circular de radios 1 y 3 y centro O, incluidas las circunferencias de los bordes.
Como :
- d) Representando la recta con se obtiene una semirrecta abierta de origen O que forma un ángulo de 30º con el eje X.
En esta escena de Geogebra podrás ver como se representan gráficamente las soluciones.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Forma polar de un número complejo |