Lugares geométricos (1ºBach)
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Lugar geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento 
, es el lugar geométrico de los puntos 
, que equidistan de los extremos 
y 
.
Proposición
La mediatriz de un segmento es una recta.
Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo 
y 
tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico
Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:
Ejemplo: Mediatriz de un segmento
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos 
y 
y represéntala gráficamente.
Para hallar la ecuación del lugar geométrico
escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:
Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.
Bisectriz del ángulo entre dos rectas
La bisectriz del ángulo que forman las rectas 
y 
, es el lugar geométrico de los puntos , que equidistan de los lados y .
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Proposición
La bisectriz del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares
Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas
Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas 
y 
, y la represéntalas gráficamente.
Para hallar la ecuación del lugar geométrico
escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
De aquí salen dos ecuaciones, ya que si 
, se puede dar que 
o que 
Así, las dos ecuaciones resultantes son:
o bien
Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.
Bisectrices del ángulo entre dos rectas (5´29") Sinopsis:Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.
Ejercicio (7´50") Sinopsis:Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.
Ejercicio (Incentro de un triángulo) (9´37") Sinopsis:Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.
