Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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-'''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}}+'''3.''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}</math>}}
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- +
-donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1</math>}}+
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Tabla de contenidos

  La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo \alpha \,, de la siguiente manera:

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}

  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}

  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

Razones trigonométricas de un ángulo agudo     Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}

  • La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}

  • La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda) (12´47")     Sinopsis:
  • Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
  • Razones trigonométricas inversas.
  • Ejemplos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel) (9´25")     Sinopsis:
  • Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, dibujar el ángulo) (8´19")     Sinopsis:

En este vídeo jugamos a dibujar un ángulo del que se conoce una de sus seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante).

Autoevaluación: Razones trigonométricas     Descripción:

  • Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
  • Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
  • Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
  • Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

ejercicio

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1

2. tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}

3. 1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

Demostración:

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1

ya que, por el teorema de Pitágoras, a^2+b^2=c^2\;.


2. \cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha


3. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo (7´13")     Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras) (9´45")     Sinopsis:

En este vídeo nos dan una de las seis razones trigonométricas de un ángulo y debemos determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Conociendo cos \, \alpha = 0.86, calcular sen \, \alpha  y  tg \, \alpha.

2. Conociendo tg \, \alpha = 2.83, calcular sen \, \alpha  y  cos \, \alpha.

Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. sen \, \alpha = 0.51 \, , \ tg \, \alpha=0.59

2. sen \, \alpha = 0.93 \, , \ tg \, \alpha=0.33

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Grados sen cos tg cosec sec cot
30^o \, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}

Razones trigonométricas de ángulos complementarios (4´54")     Sinopsis:
  • Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º.
  • El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario.
  • La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario.
  • La secante de un ángulo agudo coincide con la cesecante de su complementario.

Razones trigonométricas de los ángulos más famosos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º) (6´59")     Sinopsis:
  • Apoyándonos en un triángulo equilátero de lado unidad, en este vídeo determinamos las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.
  • También determinamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º; para ello nos servimos de un triángulo rectángulo de catetos unitarios.
  • Las razones trigonométricas en cuestión deben memorizarse.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_un_%C3%A1ngulo_agudo_%281%C2%BABach%29"
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