Plantilla:Áreas y volúmenes en el espacio

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Tabla de contenidos

1 Prisma
- 1.1 Ortoedro
- 1.2 Cubo
2 Pirámide
- 2.1 Pirámide truncada
3 Cilindro
4 Cono
- 4.1 Cono truncado
5 Esfera

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Prisma

^{http://universoformulas.com}

Áreas:

$A=A_l+2 \cdot A_b$

$A_l=P_b \cdot h$

Volumen:

$V=A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$P_b\;\!$ : Perímetro de la base.

$h\;\!$ : altura.

El prisma, su área y su volumen

Tutorial 1 (12'54") Sinopsis:

0:00-1:40: Definición de prisma recto.
1:30-4:12 :Superficie lateral del prisma recto.
4:12-5:12 :Superficie total del prisma recto.
5:12-6:09 :Volumen del prisma recto.
6:09-12:54: Problema: Halla el área lateral, el área total y el volumen de un prisma triangular regular de 5 cm de arista básica y 7 cm de altura.

Tutorial 2 (6'06") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen de un prisma. Ejemplos.

Tutorial 3 (2'31") Sinopsis:

Área y volumen del prisma recto.

Tutorial 4 (5'19") Sinopsis:

En este vídeo de MasterD, se pretende dejar claros todos los conceptos relacionados con los prismas. Daremos una definición, explicaremos cuáles son sus partes, veremos cómo se pueden clasificar con algunos ejemplos y finalmente pasaremos a ver el área y el volumen.

Tutorial 5 (9'41") Sinopsis:

Cálculo del volumen y la superficie de un prisma.

Aviso: El vídeo habla de los cilindros como un caso especial de prisma aunque en realidad nisiquiera son poliedros. No obstante su volumen y superficie se obtienen de forma similar.

Ejercicio 1 (3'37") Sinopsis:

Halla el área y el volumen de un prisma recto de base triangular, sabiendo que la base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm, y la altura mide 9 cm.

Ejercicio 2 (8'57") Sinopsis:

Imagina que te contrata una empresa de zumos para que diseñes un nuevo envase. Como el logotipo de la empresa es un hexágono, quieren que la forma del nuevo envase de zumo sea un prisma recto hexagonal. El envase debe caber en las estanterías del supermercado, por lo que te exigen que la altura sea 10 cm. Además quieren que quepa un litro de zumo, es decir, que el volumen del prisma sea 1 litro. ¿Cuánto debe medir el lado de la base?

Ejercicio 3 (13'40") Sinopsis:

Ejercicios para calcular el volumen y superficie de distintos prismas.

Desarrollo, áreas y volumen del prisma Descripción:

En esta escena podrás ver el desarrollo de un prisma recto regular y calcular su volumen y sus áreas.

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Ortoedro

Como sabemos, un ortoedro es un prisma recto de base rectangular o cuadrada.

Área:

$A=2ab+2ac+2bc\;\!$

Volumen:

$V=a \cdot b \cdot c$

Elementos:

$a, \, b, \, c\;\!$ : aristas.

Área y volumen del ortoedro

Tutorial 1a (8'36") Sinopsis:

Cómo medimos el volumen.

Tutorial 1b (4'21") Sinopsis:

Medición de volumen con cubos unitarios.

Tutorial 1c (8'17") Sinopsis:

Midiendo el volumen como área por longitud.

Tutorial 2 (1'33") Sinopsis:

Cómo se obtiene el volumen de un ortoedro.

Problema 1 (1'30") Sinopsis:

Halla el volumen de una caja de dimensiones 3 x 5 x 6 pies.

Problema 2 (5'03") Sinopsis:

Un tanque de agua tiene 12 pies de alto, 5 pies de largo y 9 pies de ancho. Una caja sólida de metal con 7 pies de alto, 4 pies de largo y 8 pies de ancho yace al fondo del tanque. El tanque se llena con agua. ¿Cuál es el volumen de agua en el tanque?

Problema 3 (4'27") Sinopsis:

Volumen de un prisma recto (ortoedro) de aristas 12.4, 8.5 y 6.2 cm.

Problema 4 (4'35") Sinopsis:

Cálcula el área y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuya arista básica mide 6.5 cm, y cuya altura es de 8.4 cm.

Problema 5 (7'48") Sinopsis:

Calcula el volumen de una piscina de 50 m de largo, 21 m de ancho y 2 m de alto.

Problema 6 (4'01") Sinopsis:

Cálcula el área de un ortoedro de aristas 4, 5, y 6 cm.

Volumen del ortoedro

Actividad Descripción:

Actividades sobre volúmenes de ortoedros.

Autoevaluación 1 Descripción:

El volumen con cubos unitarios.

Autoevaluación 2 Descripción:

Volumen del ortoedro.

Autoevaluación 3 Descripción:

Problemas sobre volúmenes de ortoedros.

Autoevaluación 4 Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre volúmenes de ortoedros.

Autoevaluación 5 Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre volúmenes de ortoedros.

Desarrollo, área y volumen del ortoedro Descripción:

En esta escena podrás ver el desarrollo de un ortoedro y calcular su volumen y su área.

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Cubo

Un caso particular de ortoedro es el cubo cuyas caras son todas cuadradas.

Área:

$A=6a^2\;\!$

Volumen:

$V=a^3\;\!$

Elementos:

$a\;\!$ : arista.

Área y volumen del cubo

Tutorial (4'59") Sinopsis:

Cálculo del área y volumen de un cubo

Problema 1 (1'57") Sinopsis:

Halla el volumen de un cubo cuya superficie total es de 36 cm².

Problema 2 (3'44") Sinopsis:

María tiene una caja para guardar juguetes con forma de cubo cuya arista mide 60 cm. ¿Cuántos m² de plástico se utilizaron para construirla?. ¿Qué volumen tiene en m³?

Volumen del cubo Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre volúmenes de cubos.

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Pirámide

Área:

$A=A_l+A_b \;\!$

$A_l=\;\!$ Suma áreas triángulos

Volumen:

$V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

Desarrollo, áreas y volumen de la pirámide Descripción:

En esta escena podrás ver el desarrollo de una pirámide y calcular su volumen y su áreas.

La pirámide, su área y su volumen

Tutorial 1 (19'27") Sinopsis:

Área y volumen de la pirámide.
Ejercicios:

a) Halla el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10, y cuya altura es igaul al perímetro de la base.

b) Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular de 4 m de arista básica y 6 m de apotema.

Tutorial 2 (5'54") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen de una pirámide. Ejemplos.

Tutorial 3 (2'58") Sinopsis:

Videotutorial.

Tutorial 4 (8'52") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen de una pirámide. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'16") Sinopsis:

Halla el área y el volumen de un pirámide cuadrangular regular sabiendo que la apotema mide 11 cm y el lado de la base 7 cm.

Ejercicio 2 (7'47") Sinopsis:

Halla el área y el volumen de un pirámide hexagonal regular sabiendo que la arista básica mide 5 cm, la altura mide 12 cm y la apotema de la pirámide, 14 cm.

Ejercicio 3 (6'29") Sinopsis:

Halla el área de una pirámide regular con base cuadrada, de arista básica 10 cm y altura 12 cm.

Ejercicio 4 (8'44") Sinopsis:

Halla el área de una pirámide regular con base hexagonal, de arista básica 16 cm y arista lateral 28 cm.

Ejercicio 5 (12'05") Sinopsis:

Ejercicios para calcular volumen y superficie de distintas pirámides.

Propiedad

Si tenemos un prisma y una pirámide con la misma base y la misma altura, entonces el volumen del prisma es igual a tres veces el volumen de la pirámide.

Demostración:

Es evidente si comparamos las fórmulas de los volúmenes de ambas figuras.

Relación entre el volumen del prisma y el de la pirámide (1'19") Sinopsis:

Video que muestra de forma práctica cómo el volumen de un cubo es tres veces el volumen de una pirámide con la misma base y altura que las del cubo.

Relación entre el volumen de un prisma y una pirámide

^{http://mundogenial.com}

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Pirámide truncada

Área:

$A=A_l+A_b+A_B \;\!$

$A_l=\;\!$ Suma áreas trapecios

Volumen:

$V=V_B-V_b\;\!$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base superior.

$A_B\;\!$ : Área de la base inferior.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$V_b\;\!$ : Volumen de la pirámide pequeña de base b.

$V_B\;\!$ : Volumen de la pirámide completa de base B.

Vólumen y área de un tronco de pirámide (11'01") Sinopsis:

Videotutorial.

Áreas y volumen del tronco de pirámide Descripción:

En esta escena podrás calcular el volumen y las áreas del tronco de pirámide.

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Cilindro

Área:

$A=A_l+2 \cdot A_b$

$A_l=2 \pi rg\;\!$

$A_b=\pi r^2\;\!$

Volumen:

$V=A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$g\;\!$ : generatriz.

$r\;\!$ : radio.

Nota::

$g=h\;\!$

Desarrollo, áreas y volumen del cilindro Descripción:

En esta escena podrás ver el desarrollo de un cilindro y calcular su volumen y sus áreas.

El cilindro, su área y su volumen

Tutorial 1 (12'14") Sinopsis:

El cilindro:

Definición.
Elementos
Área y volumen.
Ejercicio.

Tutorial 2 (5'21") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen de un cilindro. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'09") Sinopsis:

Un camión cisterna tiene un depósito cilíndrico de 10 m de largo y bases de 2 m de diámetro. Calcula su capacidad en litros.

Ejercicio 2 (3'20") Sinopsis:

Calcula la altura de un cilindro de 825.19 cm³ de volumen y 6 cm de radio de la base.

Ejercicio 3 (4'48") Sinopsis:

En un depósito de gasolina de forma cilíndrica con una base de 3 m de diámetro y una profundidad de 12 m. Calcula el área total.

Ejercicio 4 (3'19") Sinopsis:

El área de la base de un cilindro es $25π$ cm² y la generatriz es el doble del radio. Halla el volumen.

Ejercicio 5 (3'33") Sinopsis:

Si quieres cubrir un cilindro con tela, calcula el área de tela necesaria teniendo en cuenta que el cilindro mide 6 m de altura y 2 m de radio de la base.

Ejercicio 6 (8'32") Sinopsis:

Dos cilindros tienen la misma superficie lateral y sus radios miden 6 m y 8 m, respectivamente. Calcula sus alturas sabiendo que se diferencian en 3 m. Halla también sus superficies laterales.

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Cono

Área:

$A=A_l+A_b \;\!$

$A_l=\pi rg\;\!$

$A_b=\pi r^2\;\!$

Volumen:

$V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$g\;\!$ : generatriz.

$r\;\!$ : radio.

Desarrollo, áreas y volumen del cono Descripción:

En esta escena podrás ver el desarrollo de un cono y calcular su volumen y sus áreas.

El cono, su área y su volumen

Tutorial 1 (13'27") Sinopsis:

El cono:

Definición.
Elementos
Área y volumen.
Ejercicio.

Tutorial 2 (5'40") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen de un cono. Ejemplos.

Tutorial 3 (1'04") Sinopsis:

Video que muestra de forma práctica cómo el volumen de un cilindro es tres veces el volumen de un cono con la misma base y altura que las del cilindro.

Problema 1 (3'44") Sinopsis:

Un cono tiene una generatriz de 10 cm y una altura de 8 cm. Calcula su volumen.

Problema 2 (5'03") Sinopsis:

Calcula el área total de un cono de 12 cm de diámetro y 8 cm de altura.

Problema 3 (6'00") Sinopsis:

¿Cuánta cartulina necesitarás para realizar 25 conos de 20 cm de diámetro de la base y 60 cm de altura.

Problemas 4 (10'27") Sinopsis:

Calcula el área total de un cono de 3 cm de radio y 4 cm de altura.
Calcula el área total de un cono de 2 cm de radio y 7/8 cm de generatriz.

Problema 5 (4'20") Sinopsis:

Calcula el área lateral de un cono de 30 cm de diámetro y 60 cm de altura.

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Cono truncado

Área:

$A=A_l+\pi r_1^2+\pi r_2^2 \;\!$

$A_l=\pi (r_1+r_2)g\;\!$

Volumen:

$V=V_1-V_2\;\!$

Elementos:

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$V_1\;\!$ : Volumen del cono completo.

$V_2\;\!$ : Volumen del cono pequeño eliminado.

Áreas y volumen del tronco de cono Descripción:

En esta escena podrás calcular el volumen y las áreas de un tronco de cono.

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Esfera

Área:

$A=4 \pi r^2 \;\!$

Volumen:

$V=\cfrac{4}{3} \cdot \pi r^3$

Elementos:

$r\;\!$ : radio.

Volúmen y área de la esfera Descripción:

En esta escena podrás calcular el volumen y área de un balón de futbol.

La esfera, su área y su volumen

Tutorial 1 (15'22") Sinopsis:

La esfera:

Definición.
Elementos
Área y volumen.
Ejercicio.

Tutorial 2 (4'09") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen ocupado por una esfera de radio r. Ejemplos.

Tutorial 3 (3'51") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen ocupado por una esfera de radio r. Ejemplos.

Problema 1 (2'36") Sinopsis:

Halla el volumen y el área de una esfera de diámetro 10 cm.

Problema 2 (1´50") Sinopsis:

Halla el radio de una esfera que tiene un volumen de 113.04 cm³.

Teorema

El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito a ella.

Demostración:

El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.

La siguiente no es una demostración rigurosa, sino intuitiva. Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera:

Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono. En el cilindro es un círculo de radio R. En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r, entonces

$r^2+d^2=R^2\;$

En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar (como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d).

$Secci\acute{o}n\,_{Cilindro}=\pi R^2=\pi (r^2+d^2)=\pi r^2 + \pi d^2 = Secci\acute{o}n\,_{Esfera}+Secci\acute{o}n\,_{Cono}\;$

Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas

$Rebanada \ de \ cilindro = Rebanada \ de \ semiesfera + Rebanada \ de \ cono\;$ (a la misma altura)

Si para cada altura se tiene esta relación, parece bastante claro que:

$V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;$

Pero como:

$V_{cilindro} = \pi R^3 \qquad y \qquad V_{cono}= \cfrac{1}{3} \pi R^3$

resulta:

$V_{semiesfera} = \cfrac{2}{3} \pi R^3 \ \rightarrow \ V_{esfera} = \cfrac{4}{3} \pi R^3$

Corolario

El volumen de la semiesfera más el volumen de cono inscrito en ella es igual al volumen del cilindro circunscrito a ella.

$V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;$

Demostración:

Se ha visto en la demostración del teorema anterior

Relación entre los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que existe entre los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro.

==Ejercicios==

Autoevaluación: Volumen y superficie de cuerpos Descripción:

En esta escena se te plantearán ejercicios de cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos geométricos.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:%C3%81reas_y_vol%C3%BAmenes_en_el_espacio"

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 ===Cono truncado===
-{{Tabla3
+{{cono truncado}}
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-<center>[[Imagen:conotruncado.png]]</center>
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-* '''Área:'''{{p}}
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-* '''Elementos:'''{{p}}
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 ==Esfera==
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-Halla el volumen de las figuras que aparecen en la siguiente escena. Pulsa las flechas para cambiar la figura.
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_8_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2.''' Halla el volumen de las siguientes figuras.
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-Halla el volumen de las figuras que aparecen en la siguiente escena. Pulsa las flechas para cambiar la figura.
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 }}

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