Plantilla:Funciones exponenciales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Función exponencial de base a
2 Propiedades
3 El crecimiento exponencial
4 Calculadora
- 4.1 Exponencial de base 10
- 4.2 Exponencial de base e

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Función exponencial de base a

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función exponencial de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}$

La función exponencial de base $e = 2,7182...\;$ (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.

Funciones exponenciales

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Propiedades

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio, que es $D_f=\mathbb{R}$ .
Pasan por $(0,1)\;$ y $(1,a)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.

Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales

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El crecimiento exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud $M\;$ que crece con el tiempo $t\;$ de acuerdo con la ecuación:

$M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,$

Donde:

$M_t\;$ es valor de la magnitud en el instante $t\;$ > 0;

$M_0\;$ es el valor inicial de la variable, valor en $t = 0\;$ , cuando empezamos a medirla;

$r\;$ es la llamada tasa de crecimiento instantánea.

$e = 2,7182...\;$ (número e)

Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base $a\;$ haciendo $a=e^r\;$ .

$M_t=M_0 \cdot a^t\;$

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

Ejemplos:

La leyenda del ajedrez

Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:

$2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;$

una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.

Los sumandos de esta expresión respondenr a la función $2^x\;$ , para valores de x = 1, 2, 3, ..., 64.

El interés compuesto e interés continuo

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial $C_0\;$ a un interés compuesto $r\;$ en $n\;$ periodos anuales sigue la fórmula:

$C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$

siendo $t\;$ el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.

Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

$C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;$

Desintegración radiactiva

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si $R_0\;$ es la cantidad inicial de sustancia y $k\;$ la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo $t\;$ será:

$R_t = R_0 \cdot e^{-kt}$

Crecimiento demográfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial, siendo $P_0\;$ la población inicial e $i\;$ el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:

$P_t = P_0 \cdot e^{it}$

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Calculadora

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Exponencial de base 10

Calculadora: Exponencial de base 10

Para calcular $10^x\;$ usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $10^4\;$

Procedimiento: $4\;\!$

Solución: $10000\;\!$

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Exponencial de base e

Calculadora: Exponencial de base e

Para calcular $e^x\;$ usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $e^2\;\!$

Procedimiento: $2\;\!$

Solución: $7,38905 \;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Funciones_exponenciales_%281%C2%BABach%29"

 {{funcion exponencial de base a}}
 {{p}}
 ==Propiedades==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función exponencial|enunciado=Las funciones exponenciales de base <math>a\;</math> cumplen las siguientes propiedades:
+{{Propiedades de la funcion exponencial}}
-*Son continuas en su dominio: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\mathbb{R}</math>}}.
-*Pasan por <math>(0,1)\;</math> y <math>(1,a)\;</math>.
-*Si <math>a>1\;</math> son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> son decrecientes. Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
-*Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
-}}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedades de la función exponencial''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.'''  Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena.
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/exponencial_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-{{p}}
-Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:
-* Todas pasan por los punto <math>(0,1)\;</math> y <math>(a,0)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base.
-* Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes.
-* Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
-* Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
-Contesta:
-*¿Cuál es el dominio de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul?
-*¿Cuál es la imagen de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la segunda coordenada del punto azul?
-*¿Cuál es el punto de corte de la gráfica con los ejes?
-}}
-}}
-{{p}}
 ==El crecimiento exponencial==
-{{Tabla75
+{{El crecimiento exponencial}}
-|celda2=[[Image:Exponential.png|thumb|right|300px|Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)]]
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla
-|texto=El término '''crecimiento exponencial''' se aplica generalmente a una magnitud <math>M\;</math> que crece con el tiempo <math>t\;</math> de acuerdo con la ecuación:
-<center><math>M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,</math></center>
-Donde:
-*<math>M_t\;</math> es valor de la magnitud en el instante <math>t\;</math> > 0;
-*<math>M_0\;</math> es el valor inicial de la variable, valor en <math>t = 0\;</math>, cuando empezamos a medirla;
-*<math>r\;</math> es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre <math>t = 0\;</math> y <math>t > 0\;</math>;
-*<math>e = 2,7182...\;</math> (número e)
-Esta expresión también podemos ponerla como una función exponencial de base <math>a\;</math> haciendo <math>r=ln(a)\;</math>.
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-}}
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-*'''El ajedrez y los granos de trigo'''
-Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición. El número de granos de trigo era:
-<center><math>2^{64}+ 2^63 + ... + 2^2 + 2\;</math></center>
-una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.
-Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función <math>2^x\;</math>, para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.
-*'''El interés continuo'''
-El capital obtenido de la inversión de un capital inicial <math>C_0\;</math> a un interés compuesto <math>r\;</math> en <math>n\;</math> periodos anuales sigue la fórmula:
-<center><math>C_t = C_0 \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}</math></center>
-siendo <math>t\;</math> el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.
-Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:
-<center><math>C_t = C_0 \cdot e^{rt}\;</math></center>
-*'''Desintegración radiactiva'''
-Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si <math>R_0\;</math> es la cantidad inicial de sustancia y <math>k\;</math> la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo <math>t\;</math> será:
-<center><math>R_t = R_0 \cdot e^{-kt}</math></center>
-*'''Crecimiento demográfico'''
-Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo <math>P_0\;</math> la población inicial e <math>i\;</math> el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:
-<center><math>P_t = P_0 \cdot e^{it}</math></center>
-}}
 {{p}}
 ==Calculadora==
 {{Casio FX-100MS Exponencial}}
 {{p}}

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Propiedades

El crecimiento exponencial

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Exponencial de base 10

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