Plantilla:Funciones logarítmicas (1ºBach)

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==Función logarítmica de base a== ==Función logarítmica de base a==
-{{Tabla75+{{Función logarítmica de base a}}
-|celda2=+
-[[Imagen:Logarithms.png|thumb|364px|Representación gráfica de logaritmos en varias bases: +
-<br />el <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base '''e''', +
-<br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10, +
-<br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7. +
-<br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1,&nbsp;0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''',&nbsp;1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]]+
-|celda1=+
-{{Caja_Amarilla+
-|texto=+
-Sea <math>a>0 \ , (a \ne 1)</math> un número real. Se define la '''función logarítmica de base <math>a\;</math>''' como:+
- +
-<center><math>+
-\begin{matrix}+
-f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad +
-\\+
-\, \quad x & \rightarrow & log_a \, x+
-\end{matrix}+
-</math></center>+
- +
-}}+
-{{p}}+
-La función logarítmica de base <math>e = 2,7182...\;</math> (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina '''función logaritmo neperiano''' y se designa por <math>ln \, x</math>. +
-La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina '''función logaritmo decimal''' y se designa por <math>log \, x</math> (sin especificar la base).+
{{p}} {{p}}
===Propiedades=== ===Propiedades===
-{{Caja_Amarilla+{{Propiedades de la funcion logaritmica}}
-|texto=Las funciones exponenciales de base <math>a\;</math> cumplen las siguientes propiedades:+
- +
-*Son continuas en <math>\mathbb{R}{}_*^+</math>.+
-*Pasan por <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>.+
-*Si <math>a>1\;</math> son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice <math>\sqrt[n]{x}</math>.+
-*La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x\;</math>.+
-}}+
-{{p}}+
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-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Función logarítmica''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.+
-|actividad=+
-En esta escena tienes las gráfica de las funciones:+
-{{p}}+
-<center>'''a)''' <math>y = log_2 \, x\;</math> (en amarillo);{{b4}}'''b)''' <math>y = a^x \;</math> (en verde)</center>+
-{{p}}+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html+
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-height=400+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-{{p}}+
- +
-Cambia con los controles el valor de <math>a\;</math> (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:+
- +
-* Todas pasan por los punto <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base.+
-* Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes.+
-* Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.+
-* Las gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x</math> (en rojo).+
-{{p}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

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Tabla de contenidos

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Función logarítmica de base a

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}

  • La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.


  • La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).
Funciones logarítmicas con distintas bases: - En rojo está representada la de base e. - En verde la de base 10. - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

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Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas

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El modelo logarítmico

ejercicio

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde S\; es la intensidad subjetiva del estímulo, I\; la intensida física del estímulo, I_0\; la intensidad física umbral y k\; es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad B\;, en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física I\; en W / m2 está dada por

B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)

donde I_0\; la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física I\; es 100 veces la de I_0\;.

Solución:

Partimos del hecho de que I= 100 \, I_0, entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:

B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20
Solución: La sonoridad del sonido es 20 db

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Calculadora

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Logartitmo decimal

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo decimal.

Ejemplo:
  • Operación: \log \ 100


  • Procedimiento: Logaritmo decimal 100\;\! Obtener resultado


  • Solución: 2\;\!
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Logartitmo neperiano

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla Logaritmo neperiano.

Ejemplo:
  • Operación: \ln \ 50


  • Procedimiento: Logaritmo neperioano 50\;\! Obtener resultado


  • Solución: 3.912023005\;\!

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