Plantilla:Funciones logarítmicas (1ºBach)

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1 Función logarítmica de base a
- 1.1 Propiedades
2 El modelo logarítmico
3 Calculadora
- 3.1 Logartitmo decimal
- 3.2 Logartitmo neperiano

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Función logarítmica de base a

Sea $a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1$ . Se define la función logarítmica de base $a\;$ como:

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}$

La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por $ln \, x$ .

La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por $log \, x$ (sin especificar la base).

Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

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Propiedades

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base $a\;$ cumplen las siguientes propiedades:

Son continuas en su dominio: $D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}$ .
Pasan por $(1,0)\;$ y $(a,1)\;$ .
Crecimiento:

Si $a>1\;$ son crecientes.
Si $0<a<1\;$ son decrecientes.
Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice $\sqrt[n]{x}$ .

La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .

Funciones logarítmicas

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El modelo logarítmico

Ejemplo: Modelo logarítmico

Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como

$k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $S\;$ es la intensidad subjetiva del estímulo, $I\;$ la intensida física del estímulo, $I_0\;$ la intensidad física umbral y $k\;$ es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.

Por ejemplo, la percepción de la sonoridad $B\;$ , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física $I\;$ en $W / m 2$ está dada por

$B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)$

donde $I_0\;$ la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física $I\;$ es 100 veces la de $I_0\;$ .

Solución:

Partimos del hecho de que $I= 100 \, I_0$ , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:

$B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20$

Solución: La sonoridad del sonido es 20 db

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Calculadora

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Logartitmo decimal

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

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Logartitmo neperiano

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\ln \ 50$

Procedimiento: $50\;\!$

Solución: $3.912023005\;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Funciones_logar%C3%ADtmicas_%281%C2%BABach%29"

 ==Función logarítmica de base a==
-{{Tabla75
+{{Función logarítmica de base a}}
-|celda2=
-[[Imagen:Logarithms.png]]
-|celda1=
-{{Caja_Amarilla
-|texto=
-Sea <math>a>0 \ , (a \ne 1)</math> un número real. Se define la '''función logarítmica de base <math>a\;</math>''' como:
-<center><math>
-\begin{matrix}
-f \colon \mathbb{R}{}_*^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \quad
-\\
-\, \quad x & \rightarrow &  log_a \, x
-\end{matrix}
-</math></center>
-}}
-{{p}}
-La función logarítmica de base el número '''e''' = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina '''función logaritmo neperiano''' y se designa por <math>ln \, x</math>.
-La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina '''función logaritmo decimal''' y se designa por <math>log \, x</math> (sin especificar la base).
-{{p}}
-En la representación gráfica de la derecha puedes ver funciones logarítmicas en varias bases:
-*En <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base '''e''',
-*En <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10,
-*En <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7.
-Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1,&nbsp;0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''',&nbsp;1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.
-}}
 {{p}}
 ===Propiedades===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función logarítmica|enunciado=Las funciones exponenciales de base <math>a\;</math> cumplen las siguientes propiedades:
+{{Propiedades de la funcion logaritmica}}
-*Son continuas en <math>\mathbb{R}{}_*^+</math>.
-*Pasan por <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>.
-*Si <math>a>1\;</math> son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice <math>\sqrt[n]{x}</math>.
-*La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x\;</math>.
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedades de la función exponencial''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.'''  Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena.
-|actividad=
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/exponencial_1.html
-width=780
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-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/exponencial_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-{{p}}
-Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:
-* Todas pasan por los punto <math>(0,1)\;</math> y <math>(a,0)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base.
-* Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes.
-* Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).
-* Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
-Contesta:
-*¿Cuál es el dominio de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul?
-*¿Cuál es la imagen de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la segunda coordenada del punto azul?
-*¿Cuál es el punto de corte de la gráfica con los ejes?
-}}
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Función logarítmica''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1.'''  Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.
-|actividad=
-En esta escena tienes las gráfica de las funciones:
-{{p}}
-<center>'''a)''' <math>y = log_2 \, x\;</math> (en amarillo);{{b4}}'''b)''' <math>y = a^x \;</math> (en verde)</center>
-{{p}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-{{p}}
-Cambia con los controles el valor de <math>a\;</math> (no olvides pulsar "Intro") y comprueba en la escena anterior que las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:
-* Todas pasan por los punto <math>(1,0)\;</math> y <math>(a,1)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base.
-* Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes.
-* Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base.
-* Las gráficas son simétricas respecto de la recta <math>y=x</math> (en rojo).
-{{p}}
-}}
-}}
 {{p}}

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