Composición de funciones (1ºBach)

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-==Función compuesta==+__TOC__
-[[Imagen:Compfun.png|250px|thumb|''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f'', es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de'' f'' y de ''g''. En el ejemplo, (''g''&nbsp;<small>o</small>&nbsp;''f'')(a)=@.]]+{{p}}
-En [[matemática]], una '''función compuesta''' es una [[Función matemática|función]] formada por la [[Operación matemática|composición]] o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.+(Pág. 258)
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 +==Ejercicios propuestos==
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-Formalmente, dadas dos funciones ''f: X → Y'' y ''g: Y → Z'', donde la [[imagen]] de ''f'' está contenida en el [[dominio de definición|dominio]] de ''g'', se define la función composición '''(''g'' ο ''f'' ): ''X'' → ''Z''''' como '''(''g'' ο ''f'')(''x'') = ''g'' (''f''(''x''))''', para todos los elementos ''x'' de ''X''.+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1, 2
-:::::::<math>X \to \,\,Y\;\; \to \;\;\,Z</math>+
-:::::::<math>x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))</math>+
- +
-A ''g'' ο ''f'' se le llama ''composición de f y g''. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.+
-== Ejemplo ==+
-Sean las funciones:+
-: <math> f(x) = x^2 \,</math>+
-: <math> g(x) = sin(x) \,</math>+
- +
-La '''función compuesta''' de ''g'' y de ''f'' que expresamos:+
-: <math> (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (sin(x))^2 = sin^2 (x) \,</math>+
- +
-La interpretación de (''f'' o ''g'') aplicada a la variable ''x'' significa que primero tenemos que aplicar ''g'' a ''x'', con lo que obtendríamos un valor de paso +
-: <math> z = g(x)=sin(x) \, </math>+
- +
-y después aplicamos ''f'' a ''z'' para obtener+
-: <math> y = f(z) = z^2 = sin^2(x) \, </math>+
 +}}
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Tabla de contenidos

(Pág. 258)

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Función compuesta

La función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Formalmente:

Dadas dos funciones f \colon X \rightarrow Y y g \colon Y \rightarrow Z, donde la imagen de f\; está contenida en el dominio de definición de g\;, se define la función compuesta de f\; y g\; como:

\begin{matrix} g \circ f \colon X & \rightarrow & Z \qquad \\ \qquad \quad x & \rightarrow & g(f(x)) \end{matrix}

Se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

\begin{matrix} X & \to & \,\,\,Y\;\; & \to & Z \; \\ x & \to & f(x) & \to & g(f(x)) \end{matrix}

La expresión g \circ f se lee f compuesta con g. Nótese que se nombra, no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

g o f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f y de g.En el ejemplo, (g o f)(a)=@.
Aumentar
g o f, es el resultado de la aplicación sucesiva de f y de g.

En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

Composición de funciones     Descripción:

En esta escena analizaremos gráficamente como se obtiene la composición de dos funciones.

ejercicio

Ejemplo: Composición de funciones

Dadas las funciones: f(x) = x^2 \,    y    g(x) = sen(x) \,

a) Halla la función g\; compuesta con f\;.
b) Halla la función f\; compuesta con g\;.
Solución:

a) La función g\; compuesta con f\; es:

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(sen(x)) = (sen(x))^2=sen^2 (x) \,

 

b) La función f\; compuesta con g\; es:

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = sen(x^2) \,
Obsérvese que las funciones obtenidas en ambos apartados son distintas. El orden en que se efectúe la composición afecta al resultado.

Utiliza la siguiente escena para representar las funciones que acabamos de componer en el ejemplo anterior.

Practicando la composición de funciones     Descripción:

En esta escena podrás ver representadas, de forma conjunta, dos funciones y sus compuestas.

video
Composición de funciones
Tutorial 1 (7'09")     Sinopsis:

Introducción a la composición de funciones

Tutorial 2 (6'00")     Sinopsis:

Introducción a la composición de funciones

Tutorial 3 (21'50")     Sinopsis:

Tutorial dedicado a las operaciones con funciones. En este caso la composición de funciones (f o g)(x)

Tutorial 4 (4'54")     Sinopsis:

Introducción al concepto de composición o encadenamiento de funciones.

Ejercicio 1a (2'53")     Sinopsis:

Halla la composición f \circ g\; y g \circ f\; de las funciones f(x)=\sqrt{x^2-1}\; y g(x)=\cfrac{x}{1+x}\;

Ejercicio 1b (6'07")     Sinopsis:

Halla la composición f \circ g\; y g \circ f\; de las funciones f(x)=x^2+x\; y g(x)=4-x\;

Ejercicio 1c (4'49")     Sinopsis:

Evaluar funciones compuestas usando tablas

Ejercicio 1d (3'50")     Sinopsis:

Dadas las funciones:

  • h(x)=3x\;
  • g(t)=-2t-2-h(t)\;
  • f(n)=-5n^2+h(n)\;

calcula h(g(8))\;.

Ejercicio 1e (3'40")     Sinopsis:

Evaluar funciones compuestas usando gráficas

Ejercicio 2 (9'36")     Sinopsis:

4 ejercicios sobre composición de funciones

Ejercicio 3a (4'34")     Sinopsis:

Halla (f \circ g)(3) \; y (g \circ f)(0) \; de las funciones f(x)=3x+3\; y g(x)=\sqrt{3x}\;

Ejercicio 3b (10'21")     Sinopsis:

Halla f \circ g \;, g \circ f \;, f \circ f \; y g \circ g \; de las funciones f(x)=\cfrac{2x+1}{3}\; y g(x)=\cfrac{x-2}{4}\;

Ejercicio 3c (5'06")     Sinopsis:

Halla f \circ g \; y g \circ f \; de las funciones f(x)=\sqrt{2x^2+3x}\; y g(x)=x^2+8\;

Ejercicio 3d (10'33")     Sinopsis:

Halla f \circ g \; y g \circ f \; de las funciones f(x)=\sqrt{\cfrac{x^2+1}{x^2-3}}\; y g(x)=\sqrt{\cfrac{x^2-3}{x^2+1}}\;

Ejercicio 3e (8'19")     Sinopsis:

Halla f \circ g \;, h \circ f \;, f \circ g \circ h \;, h \circ f \circ g \; y g \circ g \circ g \circ g \; de las funciones f(x)=x^2+1\;, g(x)=5x-2\; y h(x)=1-3x\;

Ejercicio 4a (16'53")     Sinopsis:

4 ejercicios sobre composición de funciones

Ejercicio 4b (composición de 3 funciones) (3'50")     Sinopsis:

Ejercicio sobre la composición de 3 funciones

Ejercicio 4c (composición de 3 funciones) (12'32")     Sinopsis:

3 ejercicios sobre composición de 3 funciones

Reconocer una composición de funciones (7'53")     Sinopsis:

Este videotutorial te será útil, en especial, para cuando veamos la regla de la cadena en el tema de derivadas.

Modelar con funciones compuestas (9'56")     Sinopsis:

Este videotutorial te acercará la composición de funciones a modelos prácticos.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Composición de funciones

(Pág. 258)

1, 2

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