Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x). Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
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 +*<math>\lim_{x \to + \infty} x^4-2x^2 = + \infty</math>
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 +*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>
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 +*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>
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 +*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>
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 +*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>
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==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a infinito== ==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a infinito==

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Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a infinito

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera. En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x
Solución:
a) \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0    (La recta y=0 es una A.H. por + \infty)
    \lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0    (La recta y=0 es una A.H. por - \infty)

 

b) \lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty
    \lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty

 

c) \lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty
    \lim_{x \to - \infty} 2^x= 0    (La recta y=0 es una A.H. por - \infty)

 

d) \lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty
    \lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}

 

e) \lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}
    \lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a infinito

(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito

ejercicio

Proposición

Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

ejercicio
Ejemplos:
  • \lim_{x \to + \infty} x^4-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty
  • \lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty
  • \lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a infinito

Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito

Límite de una función en el infinito (17'30")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Límite de un polinomio en el infinito (9'59")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Límite de una función racional en el infinito (11'23")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

ejercicio

Ejemplos: Límite de una función racional en el infinito

1. Ejemplos (10'18")     Sinopsis:

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2. Ejemplos (12'19")     Sinopsis:

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3. Ejemplos (9'20")     Sinopsis:

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4. Ejemplos (11'14")     Sinopsis:

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5. Ejemplos (14'54")     Sinopsis:

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6. Ejemplos (13'09")     Sinopsis:

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7. Ejemplos (25'11")     Sinopsis:

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8. Ejemplos (18'16")     Sinopsis:

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