Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}</math> presenta una A.O. en <math>y=x+3\;</math> {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=Veamos cómo la función <math>g(x)=\cfrac{x^2+1}{x-3}</math> presenta una A.O. en <math>y=x+3\;</math>
-En efecto,+En efecto, sea y=mx+n la A.O., entonces:
-:<math>\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x)}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2)}=1</math> (igual para <math>x \to -\infty</math>)+:<math>m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{g(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{\cfrac{x^2+1}{x-3}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x(x-3)} =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+1}{x^2-3x)}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x^2)}=1</math>
-:<math>\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1}{x-3}-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1^-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>+:<math>n=\lim_{x \to 1^+} [g(x)-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1}{x-3}-x]= \lim_{x \to +\infty} [\cfrac{x^2+1^-x^2+3x}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x+1}{x-3}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{3x}{x}= 3</math>
 + 
 +Para <math>x \to -\infty</math> se obtendrían los mismo valores.
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Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución: Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

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Tabla de contenidos

Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Rama parabólica

Una función f(x) presenta una rama parabólica si ocurre alguno de los dos casos siguientes:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)
\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

Ramas infinitas que no son asíntotas

Asíntotas

Las asíntotas son rectas hacia las que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a + \infty o a -\infty.

Hay tres tipos:

  • Asíntota vertical (A.V.)
  • Asíntota horizontal (A.H.)
  • Asíntota oblicua (A.O.)

Asíntota vertical

Una función f(x)\; presenta en x=a\; una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)
\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)

Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal

Una función f(x)\; presenta una asíntota horizontal (A.H.) en y=a\; si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= a
\lim_{x \to -\infty} f(x)= a

Asíntota horizontal: y = 1

Asíntota oblicua

Una función f(x)\; presenta una asíntota oblicua (A.O.) en y=mx+n\; si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0
\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

Para calcular los coeficientes m\; y n\; de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}     (o con x \to -\infty)
n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]     (o con x \to -\infty)

Asíntota oblicua: y = x + 3

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas


(Pág. 287)

1

Ramas infinitas de las funciones racionales

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales


(Pág. 289)

1

Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas


(Pág. 290)

1

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