Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)
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(Pág. 282)
Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- Decimos que "
tiende a + infinito" (
) cuando
toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que "
tiende a - infinito" (
) cuando
toma valores negativos tan pequeños como queramos.
- A veces te podrás encontrar también la expresión "
tiende a infinito" (
) cuando
tiende, indistintamente, a
o a
, aunque también hay quien la usa en lugar de
.
Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a (o a
) son los siguientes:
si cuando
, los valores de
se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan proximos a
como se quiera.
- En este caso se dice que la recta
es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.
En estas tres definiciones se puede cambiar por
para obtener otras tres definiciones análogas.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Idea gráfica del límite de una función cuando x tiende a infinito
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
4 ejemplos muy sencillos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Definición rigurosa de límite de una función cuando x tiende a (+/-) infinito.
Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en y
, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
- a)
b)
c)
d)
e)
- a)
(La recta y=0 es una A.H. por
)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- b)
-
- c)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- d)
-
- e)
-
Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito |
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Otra forma de calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞). También se incluyen otros casos de funciones radicales que tienen un tratamiento similar.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Ejercicios de límites de funciones polinómicas.
![](/wikipedia/images/thumb/7/75/TodoSobresaliente.jpg/22px-TodoSobresaliente.jpg)
Ejercicios de límites de funciones polinómicas.
Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica.
Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
![\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;](/wikipedia/images/math/a/b/4/ab48694d35b72da0b3b611d4077bf564.png)
Se cumple que:
![\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}](/wikipedia/images/math/f/7/0/f70b5aa7be1744f26878920301bd8bbd.png)
![x \to - \infty](/wikipedia/images/math/1/6/3/1634096fed95ec95058e301f55adfed1.png)
Se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.
- Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
- Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
- Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales sencillas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
Ejercicios y videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Reglas para operar con infinito. Indeterminaciones.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más sencillos)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Comparación de infinitos: orden de un infinito (casos más complejos)
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones racionales.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso de racional con radicales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Límite con indeterminación infinito menos infinito: funciones irracionales.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Indeterminación 1 elevado a infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Mismo ejercicio que el anterior por otro método más corto que requiere el uso de una fórmula.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Demostración de la fórmula usada en el ejercicio anterior.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito |