Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)
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Revisión de 09:38 19 ene 2017
Tabla de contenidos |
Cálculo de la ecuación de la recta tangente
Proposición
La ecuación de la recta tangente a la curva 
en un punto de abscisa 
viene dada por la ecuación:
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Ecuación de la recta tangente Descripción: En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva dada su ecuación.
Estudio del crecimiento
Procedimiento
Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:
- En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
- En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.
Funciones crecientes y decrecientes (13'02") Sinopsis: Criterios de crecimiento y decrecimiento (7'19") Sinopsis: Estudio de los puntos singulares
Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.
Esos puntos pueden ser máximos o mínimos, pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.
Determinación de los extremos relativos (13'46") Sinopsis: Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45") Sinopsis: Problemas de optimización
Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.
Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...
Procedimiento
- Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
- Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
- Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
- Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
- Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.
El verbo optimizar (09'03") Sinopsis: - Introducción a los problemas de optimización.
- Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola
más próximo al punto (-1,2).
- Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva
más próximo al punto (2,-1).
Actividades: Problemas de optimización
Problema 3b: ¿Y si la hojalata para las tapas cuesta el doble que la destinada a la cara lateral?
Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.
, determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.
Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.
Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.
Solución al problema 1 Descripción: Solución al problema 2 Descripción: Solución al problema 3a Descripción: ¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?
Solución al problema 3a Descripción: Actividades interactivas: Problemas de optimización
Problema 3a: ¿Y si la hojalata para las tapas cuesta el doble que la destinada a la cara lateral?
Problema 3a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?: ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 3b:
Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.
Problema 4a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 4b:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Cambia el punto de apoyo de las rectas (inicialmente (3,1)) por otro y observa cómo varía la solución:
- ¿Encuentras alguna regularidad?
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
, determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.
Problema 7a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 7b:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.
Problema 8a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 8b: Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 9a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 9b:
Observa la figura. Elige un valor para n (mediante el correspondiente deslizador). Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital
Para ampliar
Elasticidad de una función en un punto (11'36") Sinopsis: Calculo de la variación porcentual.
Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis: Concavidad y puntos de inflexión (30'41") Sinopsis: 
