Plantilla:Utilidad de la derivada (1ºBach)
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| {{Geogebra_enlace | {{Geogebra_enlace | ||
| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion1.gif|left]]Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base (lado desigual) mide 8 cm y la altura correspondiente 3 cm (suponiendo que un lado del rectángulo está sobre la base del triángulo). | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| |enlace=[https://ggbm.at/sbj2KdAK Solución al problema 1] | |enlace=[https://ggbm.at/sbj2KdAK Solución al problema 1] | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion2.gif|left]]Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| |enlace=[https://ggbm.at/ZPZQVgkS Solución al problema 2] | |enlace=[https://ggbm.at/ZPZQVgkS Solución al problema 2] | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion3.gif|left]]Queremos construir una lata de un tercio de litro de capacidad. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
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| - | ¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?. | + | |
| |enlace=[https://ggbm.at/s9GtX9MH Solución al problema 3] | |enlace=[https://ggbm.at/s9GtX9MH Solución al problema 3] | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion4.gif|left]]'''a)''' De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.{{p}} | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| - | '''b)''' De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. | + | |
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion5.gif|left]]Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a ese lado de 5 cm. Encontrar un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion6.gif|left]]Dada la función definida en el intervalo [1,e] por <math>f(x)=\cfrac{1}{x} + ln \, x</math> , determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| |enlace=[https: Solución al problema 6] | |enlace=[https: Solución al problema 6] | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion7.gif|left]]'''a)''' En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABDC sea máxima? | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| - | {{p}} | + | |
| - | '''b)''' En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima. | + | |
| |enlace=[https: Solución al problema 7] | |enlace=[https: Solución al problema 7] | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion8.jpg|left]] '''a)''' Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y corre por la arena a 10 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| - | {{p}} | + | |
| - | '''b)''' Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. | + | |
| |enlace=[https: Solución al problema 8] | |enlace=[https: Solución al problema 8] | ||
| Línea 330: | Línea 323: | ||
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| - | |descripcion=[[Imagen:optimizacion9.gif|left]] '''a) '''Divide el número 8 en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible. | + | |descripcion=Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema. |
| - | {{p}} | + | |
| - | '''b)''' Divide el número n en dos partes de manera que su producto multiplicado por la diferencia entre las partes sea tan grande como sea posible.{{p}}(Este es uno de los problemas que [[Ferrari]] puso a [[Tartaglia]] en su histórico duelo de problemas) | + | |
| |enlace=[https: Solución al problema 9] | |enlace=[https: Solución al problema 9] | ||
Revisión de 10:27 19 ene 2017
Tabla de contenidos |
Cálculo de la ecuación de la recta tangente
Proposición
La ecuación de la recta tangente a la curva 
en un punto de abscisa 
viene dada por la ecuación:
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Ecuación de la recta tangente Descripción: En esta escena podrás calcular la ecuación de la recta tangente a una curva dada su ecuación.
Estudio del crecimiento
Procedimiento
Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:
- En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
- En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.
Funciones crecientes y decrecientes (13'02") Sinopsis: Criterios de crecimiento y decrecimiento (7'19") Sinopsis: Estudio de los puntos singulares
Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.
Esos puntos pueden ser máximos o mínimos, pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.
Determinación de los extremos relativos (13'46") Sinopsis: Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45") Sinopsis: Problemas de optimización
Un problema de optimización es aquél en el que se pretende averiguar el máximo o el mínimo de una magnitud dada.
Por ejemplo, encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...
Procedimiento
- Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.
- Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.
- Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)
- Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.
- Obtén el valor máximo o mínimo solicitado mediante el estudio de los ceros y del crecimiento de la función derivada.
El verbo optimizar (09'03") Sinopsis: - Introducción a los problemas de optimización.
- Ejemplo 1: Hallar el punto de la parábola
más próximo al punto (-1,2).
- Ejemplo 2: Hallar el punto de la curva
más próximo al punto (2,-1).
Actividades interactivas: Problemas de optimización
Solución al problema 1 Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Solución al problema 2 Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
¿Cuáles serán las dimensiones de la lata más barata (en cuanto a superficie de hojalata)?.
Solución al problema 3 Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Problema 4b: De todas las rectas que pasan por el punto (a,b), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima.
[https: Solución al problema 4] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Problema 4a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 4b:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Cambia el punto de apoyo de las rectas (inicialmente (3,1)) por otro y observa cómo varía la solución:
- ¿Encuentras alguna regularidad?
[https: Solución al problema 5] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
, determina cuáles de las rectas tangentes a su gráfica tiene la máxima pendiente.
[https: Solución al problema 6] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 7b: En una semicircunferencia de diámetro AB=2r se traza una cuerda CD paralela a AB. Llamamos E al punto medio del arco CD y dibujamos el pentágonoACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima.
[https: Solución al problema 7] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Problema 7a: Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 7b:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 8b: Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa en frente de una caseta (C). Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a v1 km/h y corre por la arena a v2 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.
[https: Solución al problema 8] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 8b: Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
[https: Solución al problema 9] Descripción: Escena de Geogebra para visualizar loa solución del problema.
Problema 9a:
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Problema 9b:
Observa la figura. Elige un valor para n (mediante el correspondiente deslizador). Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la gráfica?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
Haz clic derecho sobre el punto citado y activa "el trazo". Vuelve a mover el punto verde:
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
- Compruébalo mediante el deslizador de la parte inferior de la pantalla.
Aplicación al cálculo de límites: Regla de L'Hopital
Para ampliar
Elasticidad de una función en un punto (11'36") Sinopsis: Calculo de la variación porcentual.
Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis: Concavidad y puntos de inflexión (30'41") Sinopsis: 
