Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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(Pág. 108)

Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.

Ángulos coterminales

Dos ángulos $\alpha \;$ y $\beta\;$ son coterminales ( $\alpha \equiv \beta$ ), si se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

$\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ$ .

Ejemplo

Los ángulos 30º, 390º y 750º son coterminales.

En efecto:

390º = 30º+360º

750º =30º+2·360º

Propiedades

Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas.
Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él.

Demostración:

Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas, por tener la misma posición en la circunferencia goniométrica.
Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º, ya que, al hacer la división y quedarnos con el resto, le estamos quitando un número exacto de vueltas y por tanto obteniendo uno coterminal con él.
Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él pués basta con sumarle 360º un número suficiente de veces.

Ejemplo

El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas.

Si un ángulo $\alpha\;$ tiene medida superior a 360º, al ángulo $\beta\;$ con medida inferior a 360º coterminal con $\alpha\;$ , decimos que es la reducción al primer giro de $\alpha\;$ .

Ejemplo

3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. Entonces 120º es la recucción al primer giro de 3000º.

Reducción de un ángulo al primer giro (7´03") Sinopsis:

Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la reducción al primer giro de "A".
Ejemplos.