Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Revisión de 16:45 7 may 2017

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
2 Razones trigonométricas inversas
3 Relaciones fundamentales de la trigonometría
4 Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{c_o}{h} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{c_c}{h} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{c_o}{c_c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Descripción:

En esta escena podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{h}{c_o}$

La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{h}{c_c}$

La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

$cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{c_c}{c_o}$

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda) (12´47") Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas inversas.
Ejemplos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel) (9´25") Sinopsis:

Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, dibujar el ángulo) (8´19") Sinopsis:

En este vídeo jugamos a dibujar un ángulo del que se conoce una de sus seis razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante).

Autoevaluación: Razones trigonométricas Descripción:

Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1$

2. $tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}$

3. $1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Demostración:

1. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1$

ya que, por el teorema de Pitágoras, $c_o^2+c_c^2=h^2\;$ .

2. $\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha$

3. $sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}$

Identidades trigonométricas

Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo (7´13") Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras) (9´45") Sinopsis:

En este vídeo nos dan una de las seis razones trigonométricas de un ángulo y debemos determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Ejemplo 1: Comprobar identidades trigonométricas (7'45") Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) $tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha$

b) $2(1- cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha = 1 + sen^2 \alpha\;$

Ejemplo 2: Comprobar identidades trigonométricas (7'34") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{tg \, x - cotg \, x}{tg \, x + cotg \, x} = 2sen^2 x \, - 1$

Ejemplo 3: Comprobar identidades trigonométricas (5'48") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$\cfrac{1+sen \, x}{1- sen \, x}-\cfrac{1-sen \, x}{1+ sen \, x} = 4 \cdot tg x \cdot sec \, x$

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Sea $\alpha\;$ un ángulo agudo.

Sabiendo que $cos \, \alpha = 0.86$ , calcular $sen \, \alpha$ y $tg \, \alpha$ .
Sabiendo que $tg \, \alpha = 2.83$ , calcular $sen \, \alpha$ y $cos \, \alpha$ .

Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. $sen \, \alpha = 0.51 \, , \ tg \, \alpha=0.59$

2. $sen \, \alpha = 0.93 \, , \ cos \, \alpha=0.33$

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Grados	sen	cos	tg	cosec	sec	cot
$30^o \,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º con valores exactos.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios (4´54") Sinopsis:

Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º.
El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario.
La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario.
La secante de un ángulo agudo coincide con la cesecante de su complementario.

Razones trigonométricas de los ángulos más famosos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º) (6´59") Sinopsis:

Apoyándonos en un triángulo equilátero de lado unidad, en este vídeo determinamos las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.
También determinamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º; para ello nos servimos de un triángulo rectángulo de catetos unitarios.
Las razones trigonométricas en cuestión deben memorizarse.

Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º (regla mnemotécnica) (3´50") Sinopsis:

Una regla mnemotécnica para obtener las razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_un_%C3%A1ngulo_agudo_%281%C2%BABach%29"

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Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Razones trigonométricas inversas

Relaciones fundamentales de la trigonometría

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