Puntos y vectores el plano (1ºBach)

En esta escena podrás ver como se obtienen las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia del plano a partir de su vector de posición.

Dados los puntos y , halla las coordenadas de y .

Siendo P = (x₀,y₀) y Q = (x₁,y₁) puntos del plano, en este vídeo definimos el concepto de "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q). Visualizamos dicho vector fijo mediante una "flecha" que tiene origen en "P" y extremo en "Q". El vector fijo asociado al par (Q,P) se dice "opuesto" del asociado al par (P,Q). En términos matemáticos, el vector fijo asociado al par ordenado (P,Q) queda identificado mediante el par ordenado de números reales (x₁ − x₀,y₁ − y₀), que se obtiene al restar las coordenadas del punto "P" a las coordenadas del punto "Q". De dicho par (x₁ − x₀,y₁ − y₀) se dice que son las coordenadas del vector fijo.

Estudio del signo de las coordenadas de un vector según la posición del origen A y el extremo B del vector.

Siendo P = (x₀,y₀) y Q = (x₁,y₁) puntos del plano, las coordenadas del "vector fijo" asociado al par ordenado (P,Q) son .

En este vídeo nos dan las coordenadas del vector fijo y las del punto "P" (punto "Q"), pidiéndonos que determinemos las coordenadas del punto "Q" (punto "P").

En esta escena podrás calcular las coordenadas del vector que une dos puntos del plano.

• Dos vectores fijos se dicen "equipolentes" si tienen el mismo módulo, dirección y sentido o, equivalentemente, si tienen las mismas coordenadas.

• Si el vector fijo asociado al par (M,N) es equipolente al vector fijo asociado al par (S,T), los segmentos MT y NS tienen el mismo punto medio, y si los puntos "M", "N", "S" y "T" nos están alineados, el polígono cuyos vértices son esos puntos es un paralelogramo.

• Se llama "vector libre" al CONJUNTO formado por un vector fijo y todos los equipolentes a él.

Conocidos 3 puntos del plano hallar un cuarto punto tal que forme con los otros tres un paralelogramo.

En esta escena podrás ver como vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas.

Comprueba que los puntos A(2,-1), B(6,1) y C(8,2) están alineados.

Solución:

Para que están alineados los vectores y deben ser paralelos, es decir, sus coordenadas deben ser proporcionales:

Están alineados.

• Producto de un escalar por un vector
• Propiedades
• Vectores colineales
• Condición para que tres puntos estén alineados

Siendo un vector libre, llamamos traslación de vector a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo coinciden con las de . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector . Obvio: si u = (u₁,u₂) y A = (a₁,a₂), es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).

Siendo un vector libre, llamamos traslación de vector a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las coordenadas del vector fijo coinciden con las de . Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector . Obvio: si y A = (a₁,a₂), es A' = (a₁ + u₁,u₂ + u₂).

Pueden jugar a darte y A y pedirte A', o darte y A' y pedirte A, o darte A y A' y pedirte .

• Suma de vectores: método del paralelogramo.
• Coordenadas del vector suma.
• Propiedades de la suma de vectores.
• Suma de vectores como composición de traslaciones.

• Llamamos homotecia de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo es el producto del número real "k" por el vector fijo .

El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.

• La homotecia se dice directa si k>0, y se dice inversa si k<0.

En éste video jugamos con vectores colineales.

En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.