La elipse (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 La elipse
2 Elementos de la elipse
3 Excentricidad de la elipse
4 Ecuaciones de la elipse
5 Construcciones de la elipse

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La elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}$

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Elementos de la elipse

Una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

Semieje mayor: $a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ .
Semieje menor: $b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ .
Semidistancia focal: $c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ .

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:

La constante de la elipse es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la elipse:

$k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a$

Por ser $B\,$ un punto de la elipse:

$\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $BOF\,$ , tenemos

$a^2=b^2+c^2\,$

Por ser $a\,$ la hipotenusa y $c\,$ un cateto, tenemos que $c<a\,$ .

Trazado de una elipse y elementos principales (5'20") Sinopsis:

Trazado de una elipse y elementos principales.

Propiedad de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.

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Excentricidad de la elipse

La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

$e=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

En una elipse $0<e<1\,$ .
Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.

Demostración:

Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que $a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1$

y como $a>0\,$ y $c>0\,$ , tenemos que $\cfrac{c}{a}>0$

Cuanto más próxima a 0 sea la excentricidad, más proximo a cero estará $c\,$ (la distancia focal se aproximará a cero) y $a\,$ se aproximará a $b\,$ . Así, la elipse, se aproximará a una circunferencia de centro los focos y radio $a=b\,$ .

Excentricidad de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.

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Ecuaciones de la elipse

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Ecuación reducida de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:

Sean $F(c,0)\,$ y $F'(-c,0)\,$ los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

$d(P,F)+d(P,F')=2a\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

$x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$-4cx-4a^2=-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$cx+a^2=a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

$c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,$

Reordenando y agrupando términos:

$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2b^2\,$

Teniendo en cuenta que $a^2-c^2=b^2\,$ :

$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\,$

Dividiendo la expresión por $a^2b^2\,$ :

se obtiene la cuación buscada:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Ejemplo (7'36") Sinopsis:

Ecuación reducida de la elipse de eje mayor 40 y distancia focal 24

Ecuación reducida de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.

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Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1$

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Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semiejes $a\,$ y $b\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

Si el eje FF' es paralelo al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{a^2}=1$

Ejemplo 1 (parte 1) (9'46") Sinopsis:

Representa gráficamente $x^2+4y^2-6x-16y+21=0\;$ .

Ejemplo 1 (parte 2) (5'38") Sinopsis:

Representa gráficamente $x^2+4y^2-6x-16y+21=0\;$ .

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.

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Construcciones de la elipse

Método del jardinero Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una elipse por el método del jardinero. Los jardineros, para trazar una forma elíptica sobre la tierra, clavan dos estacas en el suelo, atan entre ambas una cuerda suficientemente amplia y, manteniéndola tensa, trazan una línea sobre la tierra apoyando un palo sobre la cuerda y deslizándolo sobre la misma.

La elipse como envolvente (1) Descripción:

La elipse como envolvente.

La elipse como envolvente (2) Descripción:

La elipse como envolvente.

La elipse a partir de dos circunferencias Descripción:

La elipse a partir de dos circunferencias.

La elipse como hipotrocoide Descripción:

La elipse como hipotrocoide.

La elipse mediante el compás de Arquímedes Descripción:

La elipse mediante el compás de Arquímedes.

La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores Descripción:

La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_elipse_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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La elipse

Elementos de la elipse

Excentricidad de la elipse

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Construcciones de la elipse

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 }}
 {{p}}
+==La elipse==
+{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F\,</math> y <math>F'\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada '''constante de la elipse''' (<math>k > d(F,F')\,</math>), se llama '''elipse''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a <math>k\,</math>:
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+}}
 ==Elementos de la elipse==
 {{Tabla75|celda2=[[Imagen:Elipse.png]]
 |celda1=
-{{Caja Amarilla|texto=Una una elipse de '''focos''' <math>F\,</math> y <math>F'\,</math>, con '''ejes''' de simetría <math>AA'\,</math> y <math>BB'\,</math>, que se cortan en el '''centro''' <math>O\,</math> de la elipse, determina los siguientes segmentos:
+{{Caja Amarilla|texto=Una elipse de '''focos''' <math>F\,</math> y <math>F'\,</math>, con '''ejes''' de simetría <math>AA'\,</math> y <math>BB'\,</math>, que se cortan en el '''centro''' <math>O\,</math> de la elipse, determina los siguientes segmentos:
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-*{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}} '''(semieje mayor)'''.
+*'''Semieje mayor:''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}}.
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+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.
+|enlace=[https://ggbm.at/n4uwXebx Propiedad de la elipse]
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 ==Excentricidad de la elipse==
-{{Caja Amarilla|texto=La '''escentricidad''' de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:
+{{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:
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+<center><math>e=\cfrac{c}{a}</math></center>
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 {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
-*<math>0<exc<1\,</math>.
+*En una elipse <math>0<e<1\,</math>.
-*La excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto más próxima a 1 más se parece a a una circunferencia.
+*Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.
 |demo=
 *Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1</math>
 :y como <math>a>0\,</math> y <math>c>0\,</math>, tenemos que <math>\cfrac{c}{a}>0</math>
-*Cuanto más próxima a 1 sea la excentricidad, más proximos son <math>a\,</math> y <math>c\,</math> y, por tanto, más se aproxima <math>b\,</math> a cero.
+*Cuanto más próxima a 0 sea la excentricidad, más proximo a cero estará <math>c\,</math> (la distancia focal se aproximará a cero) y <math>a\,</math> se aproximará a <math>b\,</math>. Así, la elipse, se aproximará a una circunferencia de centro los focos y radio <math>a=b\,</math>.
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Excentricidad de la elipse''|cuerpo=
+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.
+|enlace=[https://ggbm.at/bgszwjdz Excentricidad de la elipse]
-|actividad=
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicios:'''
-#¿A qué se le llama excentricidad de una elipse? ¿Es correcto el valor de la excentricidad de la elipse de la figura?
-#Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios.
-##¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una elipse?
-##¿Cómo son las elipses de excentricidad grande (próxima a 1)? ¿Y la elipse de excentricidad 0?
-##¿Sabías que la Tierra da vueltas alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica de excentricidad 0.016751? Aproxima a ese valor el de la excentricidad de la elipse de la figura. ¿Describe la figura resultante. ¿Dónde crees que se sitúa el Sol?
-##Los planetas de nuestro Sistema Solar cuya órbita tiene mayor excentricidad son Marte (e=0.09) y Plutón (e=0.25). Comprueba qué aspecto tiene dichas órbitas.
-#Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios.
-##¿Qué tienen en común todas las elipses con la misma excentricidad?
-}}
 }}
 {{p}}
-==Ecuación reducida de la elipse==
+==Ecuaciones de la elipse==
+===Ecuación reducida de la elipse===
 {{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la elipse|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje mayor <math>a\,</math> y semieje menor <math>b\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
 {{Caja|contenido=<math>\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1</math>}}
-|demo=Sean <math>F(-c,0)\,</math> y <math>F'(c,0)\,</math> los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
+|demo=Sean <math>F(c,0)\,</math> y <math>F'(-c,0)\,</math> los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
 {{p}}
 <center><math>d(P,F)+d(P,F')=2a\,</math></center>
 }}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la elipse''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.
-|actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula:
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1</math></center>
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Ejemplo
+|duracion=7'36"
+|sinopsis=Ecuación reducida de la elipse de eje mayor 40 y distancia focal 24
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+}}
 {{p}}
-Sustituyendo a=5 y b=3, tenemos:
+{{Geogebra_enlace
-{{p}}
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.
-<center><math>\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{9}=1</math></center>
+|enlace=[https://ggbm.at/KX5YZAqA Ecuación reducida de la elipse]
-{{p}}
-Puedes ver su gráfica en la siguente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_2.html
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-height=460
-name=myframe
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicio:'''
-#Halla la ecuación reducida de la elipse cuyos ejes miden 16 y 10. Comprueba los resulatados en la escena
-}}
 }}
 {{p}}
-==Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y==
+===Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y===
 {{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje mayor <math>a\,</math> y semieje menor <math>b\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
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-*Su excentricidad es: <math>exc=\cfrac{a}{c}</math>
 }}
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-==Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semiejes <math>a\,</math> y <math>b\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es:
+===Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas===
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semiejes <math>a\,</math> y <math>b\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es:
+:*Si el eje FF' es paralelo al eje X:
 {{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math>}}
+:*Si el eje FF' es perpendicular al eje X:
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{a^2}=1</math>}}
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 1 (parte 1)
+|duracion=9'46"
+|sinopsis=Representa gráficamente <math>x^2+4y^2-6x-16y+21=0\;</math>.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=849ryoz3LaU
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 1 (parte 2)
+|duracion=5'38"
+|sinopsis=Representa gráficamente <math>x^2+4y^2-6x-16y+21=0\;</math>.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=_d1SyjVGVpk
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.
+|enlace=[https://ggbm.at/zAZPrbmm Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas]
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la elipse''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.
-|actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula:
+==Construcciones de la elipse==
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como construye una elipse por el método del jardinero. Los jardineros, para trazar una forma elíptica sobre la tierra, clavan dos estacas en el suelo, atan entre ambas una cuerda suficientemente amplia y, manteniéndola tensa, trazan una línea sobre la tierra apoyando un palo sobre la cuerda y deslizándolo sobre la misma.
+|enlace=[https://ggbm.at/f462a5R2 Método del jardinero]
+}}
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math></center>
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse como envolvente.
+|enlace=[https://ggbm.at/Cz2vMk4Y La elipse como envolvente (1)]
+}}
 {{p}}
-Sustituyendo <math>a=5\,</math>, <math>b=2\,</math>, <math>\alpha=3\,</math>, <math>\beta=-1\,</math>, tenemos:
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse como envolvente.
+|enlace=[https://ggbm.at/GeRengUD La elipse como envolvente (2)]
+}}
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{(x-3)^2}{25}+\cfrac{(y+1)^2}{4}=1</math></center>
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse a partir de dos circunferencias.
+|enlace=[https://ggbm.at/t8P5SEjD La elipse a partir de dos circunferencias]
+}}
 {{p}}
-Puedes ver su gráfica en la siguente escena:
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse como hipotrocoide.
-<center><iframe>
+|enlace=[https://ggbm.at/UGeNWQU6 La elipse como hipotrocoide]
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_3.html
+}}
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicio:'''
-#Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros.
 {{p}}
-::a) <math>\cfrac{(x+2)^2}{16}+\cfrac{(y-3)^2}{25}=1</math>
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse mediante el compás de [[Arquímedes]].
+|enlace=[https://ggbm.at/urzUtA86 La elipse mediante el compás de Arquímedes]
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.
+|enlace=[https://ggbm.at/Msv3F7D9 La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores]
+}}
-::b) <math>x^2+9y^2=9\,</math>
-}}}}
-{{P}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]