La parábola (1ºBach)

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1 La parábola
- 1.1 Elementos de la parábola
2 Excentricidad de la parábola
3 Ecuaciones de la parábola
4 Construcciones de la parábola

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La parábola

Dados un punto $F\,$ llamado foco, y una recta $d\,$ , llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano que equidistán del foco y de la directriz:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}$

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Elementos de la parábola

Una parábola de foco $F\,$ y directriz $d\,$ , determina los siguientes elementos:

Vértice: $O\,$ .
Distancia del foco a la directriz: $p=d(d,F)\,$ .

Propiedad de la parábola Descripción:

Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.

Aplicaciones prácticas:

Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.

Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.

Tiro parabólico Descripción:

En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.

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Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre $c=d(F,O)\,$ y $a=d(O,d)\,$ . En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

$e=\cfrac{c}{a}=1$

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Ecuaciones de la parábola

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Ecuación reducida de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

$y^2=2px\,$

Demostración:

Recordemos que $p=d(F,d)\,$ . Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:

$F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}$

Como cualquier punto $P(x,y)\,$ de la parábola cumple que:

$d(P,F)=d(P,d)\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:

$\sqrt{\Big( x-\cfrac{p}{2}}\Big)^2+y^2=x+\cfrac{p}{2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado:

$x^2-\cfrac{p^2}{4}-px+y^2=x+\cfrac{p^2}{4}+px$

Y simplificando:

$y^2=2px\,$

Ecuación reducida de la parábola Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2.

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Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,$

[editar]

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto $O(\alpha,\beta)\,$ , es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

donde

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Demostración:

Basta con desarrollar la ecuación

$(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,$

$x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,$

Despejando $y\,$ :

$y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p}$

donde basta con llamar:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Proposición

Las coordenadas vértice $O(\alpha,\beta)\,$ , de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas $y = ax^2 + bx + c \,$ , son:

$\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Demostración:

Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:

$a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta$

Despejando $p\,$ de la primera ecuación: $p=\cfrac{1}{2a}$

Despejando $\alpha \,$ de la segunda ecuación: $\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}$

Despejando $\beta \,$ de la tercera ecuación: $\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}$

Parábolas con ejes verticales y horizontales. (10'29") Sinopsis:

Parábolas con ejes verticales y horizontales. Ejemplo

Ejemplo 1 (8'21") Sinopsis:

Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación estandard y su ecuación general.

Ejemplo 2 (9'44") Sinopsis:

Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general $2 x 2 + 8 x - y + 8 = 0$ .

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Construcciones de la parábola

Trazado de la parábola a partir de su definición Descripción:

Método de construcción de la parábola basado en su definición como lugar geométrico.

La parábola como envolvente Descripción:

Construcción de la parábola como envolvente.

La parábola generada por el centro de una circunferencia Descripción:

Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia.

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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La parábola

Elementos de la parábola

Excentricidad de la parábola

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

Construcciones de la parábola

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 {{p}}
 ==La parábola==
+{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Parabola.png]]
+|celda1=
 {{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz:
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+===Elementos de la parábola===
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-==Elementos de la elipse==
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-*{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}} '''(semieje mayor)'''.
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-{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
+{{Geogebra_enlace
-*<math>k=2a\,</math> (constante de la elipse)
+|descripcion=Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.
-*<math>a=\overline{BF}=\overline{BF'}</math>
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-*La constante de la elipse es <math>k=2a\,</math>, ya que, al ser <math>A\,</math> un punto de la elipse:
-{{p}}
-<center><math>k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a</math></center>
+'''Aplicaciones prácticas:'''
-*Por ser <math>B\,</math> un punto de la elipse:
+*Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
-{{p}}
-<center><math>\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a</math></center>
+*La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
-*Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo <math>BOF\,</math>, tenemos
+*Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.
-{{p}}
-<center><math>a^2=b^2+c^2\,</math></center>
+{{Tabla4|celda1=
-*Por ser <math>a\,</math> la hipotenusa y <math>c\,</math> un cateto, tenemos que <math>c<a\,</math>.
+<center>[[Imagen:Parab.gif|193px]]
+<br>La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.</center>
+|celda2=
+<center>[[Imagen:Erdfunkstelle Raisting 2.jpg|165px]]
+<br>Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.</center>
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+<center>[[Imagen:Solarofen.jpg|200px]]
+<br>Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.</center>
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+<center>[[Imagen:Austinlight.jpg|200px]]
+<br>Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.</center>
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+|enlace=[https://ggbm.at/sHrSwdqj Propiedad de la parábola]
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.
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 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Propiedad de la elipse''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.
-|actividad=
+==Excentricidad de la parábola==
-<center><iframe>
+{{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la parábola es el cociente entre <math>c=d(F,O)\,</math> y <math>a=d(O,d)\,</math>. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_5.html
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+<center><math>e=\cfrac{c}{a}=1</math></center>
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicios:'''
-*Desliza el punto verde hacia arriba.
-**Describe lo que ves.
-*Utiliza el segundo deslizador para cambiar la dirección del "rayo" y repite la animación. Prueba a modificar también la forma de la elipse (arrastrando sus vértices).
-**¿Qué se puede decir de los rayos que salen de un foco de cualquier elipse y se reflejan en ella?
-*Arrastra el vértice derecho de la elipse hasta conseguir una circunferencia (elipse de excentricidad 0) y observa:
-** ¿Qué ocurre con un rayo emitido desde el radio de una circunferencia reflejado en ella misma?
-** ¿Qué ángulo forman el radio de una circunferencia y la tangente a la misma en el punto correspondiente?
 }}
-}}
-==Construcciones de la parábola==
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-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Método basado en su definición como lugar geométrico.
-|actividad=Activa la traza, desliza el punto P y observa.
-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
+{{p}}
-#¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
+==Ecuaciones de la parábola==
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
+===Ecuación reducida de la parábola===
+{{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la parábola|enunciado=:La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:
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+===Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical===
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+{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es:
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto P y observa.
+{{Caja|contenido=<math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math>}}
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+Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:
+{{p}}
+{{Teorema|titulo=Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es:
-Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P
+{{Caja|contenido=<math>y = ax^2 + bx + c \,</math>}}
-*¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?
-Tras pulsar sobre  para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.
+donde
-*¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?
+::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
+|demo=Basta con desarrollar la ecuación
+{{p}}
+<center><math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math></center>
+{{p}}
+<center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,</math></center>
+{{p}}
+<center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py  \,</math></center>
+{{p}}
+Despejando <math>y\,</math>:
+{{p}}
+<center><math>y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p} </math></center>
+{{p}}
+donde basta con llamar:
+{{p}}
+::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
 }}
-{{ai_cuerpo
+{{p}}
-|enunciado='''Actividad 3:''' La parábola generada por el centro de una circunferencia.
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-|actividad=
+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Las coordenadas vértice <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas <math>y = ax^2 + bx + c \,</math>, son:
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+<center><math>\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}</math></center>
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+::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
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-</iframe></center>
+Despejando <math>p\,</math> de la primera ecuación: <math>p=\cfrac{1}{2a}</math>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto P y observa.
+Despejando <math>\alpha \,</math> de la segunda ecuación: <math>\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}</math>
-*¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
-*¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?
+Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math>
-Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.
-*Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado.
 }}
+{{p}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Parábolas con ejes verticales y horizontales.
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+{{p}}
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 1
+|duracion=8'21"
+|sinopsis=Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación estandard y su ecuación general.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8
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+{{p}}
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 2
+|duracion=9'44"
+|sinopsis=Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general <math>2x^2+8x-y+8=0</math>.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2pvke2ELR3M
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+==Construcciones de la parábola==
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+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia.
+|enlace=[https://ggbm.at/BcwDydCq La parábola generada por el centro de una circunferencia]
+}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]