La parábola (1ºBach)
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{{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz: | {{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz: | ||
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{{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos: | {{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos: | ||
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- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Propiedades de la parábola''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
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- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco. | + | |
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+ | *Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. | ||
- | '''Ejercicio:''' | + | *La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. |
- | Desliza el punto verde hacia la derecha y observa: | + | *Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal. |
- | *Describe lo que ves. | + | |
- | *¿Encuentra alguna relación con el funcionamiento de las antenas parabólicas? | + | |
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- | + | {{Tabla4|celda1= | |
- | '''Ejercicio:''' | + | <center>[[Imagen:Parab.gif|193px]] |
- | + | <br>La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.</center> | |
- | En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial. | + | |celda2= |
- | *¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo? | + | <center>[[Imagen:Erdfunkstelle Raisting 2.jpg|165px]] |
- | + | <br>Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.</center> | |
- | Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles. | + | |celda3= |
- | *¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"? | + | <center>[[Imagen:Solarofen.jpg|200px]] |
+ | <br>Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.</center> | ||
+ | |celda4= | ||
+ | <center>[[Imagen:Austinlight.jpg|200px]] | ||
+ | <br>Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.</center> | ||
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+ | |enlace=[https://ggbm.at/sHrSwdqj Propiedad de la parábola] | ||
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+ | |descripcion=En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil. | ||
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==Excentricidad de la parábola== | ==Excentricidad de la parábola== | ||
- | {{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la parábola es el cociente entre la distancia de cualquier punto al foco y la distancia de ese mismo punto a la directriz. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es 1. | + | {{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la parábola es el cociente entre <math>c=d(F,O)\,</math> y <math>a=d(O,d)\,</math>. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1. |
- | <center><math>e=\cfrac{d(P,F)}{d(P,d)}=1</math></center> | + | <center><math>e=\cfrac{c}{a}=1</math></center> |
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+ | ==Ecuaciones de la parábola== | ||
+ | ===Ecuación reducida de la parábola=== | ||
+ | {{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la parábola|enunciado=:La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es: | ||
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- | #¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD? | + | {{p}} |
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+ | Como cualquier punto <math>P(x,y)\,</math> de la parábola cumple que: | ||
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- | Desliza el punto P y observa. | + | donde |
- | Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P | + | ::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math> |
- | *¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas? | + | |demo=Basta con desarrollar la ecuación |
- | + | {{p}} | |
- | Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior. | + | <center><math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math></center> |
- | *¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada? | + | {{p}} |
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- | <center><iframe> | + | <center><math>\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}</math></center> |
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- | </iframe></center> | + | Despejando <math>p\,</math> de la primera ecuación: <math>p=\cfrac{1}{2a}</math> |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | Desliza el punto P y observa. | + | Despejando <math>\alpha \,</math> de la segunda ecuación: <math>\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}</math> |
- | *¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento? | + | |
- | *¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente? | + | Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math> |
- | Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P. | ||
- | *Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado. | ||
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+ | |enlace=[https://ggbm.at/BcwDydCq La parábola generada por el centro de una circunferencia] | ||
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Tabla de contenidos |
La parábola
Dados un punto
[editar] Elementos de la parábolaUna parábola de foco
| ![]() |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.
Aplicaciones prácticas:
- Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
- La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
- Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.
Excentricidad de la parábola
La excentricidad de la parábola es el cociente entre y
. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.
![e=\cfrac{c}{a}=1](/wikipedia/images/math/3/3/e/33ec53d9356e47eab1c341c08ba1a718.png)
Ecuaciones de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
- La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:
|
Recordemos que . Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:
![F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}](/wikipedia/images/math/1/0/7/10777feb8d2e2f74d883f046c5a923fe.png)
Como cualquier punto de la parábola cumple que:
![d(P,F)=d(P,d)\,](/wikipedia/images/math/f/0/1/f01aaad7f5b64cf853aa8ae396ac832b.png)
Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:
![\sqrt{\Big( x-\cfrac{p}{2}}\Big)^2+y^2=x+\cfrac{p}{2}](/wikipedia/images/math/2/5/f/25f86ea960939c2f5d87ada6a6d1a43d.png)
Elevando ambos miembros al cuadrado:
![x^2-\cfrac{p^2}{4}-px+y^2=x+\cfrac{p^2}{4}+px](/wikipedia/images/math/6/a/5/6a523108e5dcc2cd70b814786422e7f0.png)
Y simplificando:
![y^2=2px\,](/wikipedia/images/math/1/e/c/1ecb0622398d348c55c2b93de976dd63.png)
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2.
Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas
Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto
, es:
|
Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto
, es:
|
Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:
Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto
, es:
|
donde
Basta con desarrollar la ecuación
![(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,](/wikipedia/images/math/4/5/5/4559fe8e1c913888dfcf07ec124b5bda.png)
![x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,](/wikipedia/images/math/7/f/b/7fb8301ef396e62386c6d7c68ac2c100.png)
![x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,](/wikipedia/images/math/9/a/4/9a4f49a07ce833e7e9aab8000d4582e2.png)
Despejando :
![y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p}](/wikipedia/images/math/1/9/c/19c53f332722515a616b6ab798608e6f.png)
donde basta con llamar:
Proposición
- Las coordenadas vértice
, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas
, son:
![\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}](/wikipedia/images/math/5/d/d/5dddcca1b2635c1dc9702ef87dd6744c.png)
Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:
Despejando de la primera ecuación:
Despejando de la segunda ecuación:
![\beta \,](/wikipedia/images/math/8/1/b/81b4c8dd7cbec41cae5ef37da5644e99.png)
![\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}](/wikipedia/images/math/e/1/e/e1e18328a79c45662bf7566fcbbcdf2f.png)
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Parábolas con ejes verticales y horizontales. Ejemplo
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación estandard y su ecuación general.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general 2x2 + 8x − y + 8 = 0.
Construcciones de la parábola
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Método de construcción de la parábola basado en su definición como lugar geométrico.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Construcción de la parábola como envolvente.
Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia.