La parábola (1ºBach)
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| {{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz: | {{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz: | ||
| - | {{Caja|contenido=<math>d(P,F)=d(P,d)\,</math>}} | + | {{Caja|contenido=<math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}</math>}} |
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| {{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos: | {{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos: | ||
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| - | *{{Sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>O\,</math>}} '''(vértice)'''. | + | *'''Vértice:''' {{Sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>O\,</math>}}. |
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| - | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Propiedades de la parábola''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
| - | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco. |
| - | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco. | + | |
| - | |actividad= | + | '''Aplicaciones prácticas:''' |
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| + | *Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. | ||
| - | '''Ejercicio:''' | + | *La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar. |
| - | Desliza el punto verde hacia la derecha y observa: | + | *Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal. |
| - | *Describe lo que ves. | + | |
| - | *¿Encuentra alguna relación con el funcionamiento de las antenas parabólicas? | + | |
| - | *¿Conoces algún otro ejemplo práctico donde se aproveche esta propiedad de la parábola? | + | |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
| - | + | {{Tabla4|celda1= | |
| - | '''Ejercicio:''' | + | <center>[[Imagen:Parab.gif|193px]] |
| - | + | <br>La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.</center> | |
| - | En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial. | + | |celda2= |
| - | *¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo? | + | <center>[[Imagen:Erdfunkstelle Raisting 2.jpg|165px]] |
| - | + | <br>Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.</center> | |
| - | Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles. | + | |celda3= |
| - | *¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"? | + | <center>[[Imagen:Solarofen.jpg|200px]] |
| + | <br>Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.</center> | ||
| + | |celda4= | ||
| + | <center>[[Imagen:Austinlight.jpg|200px]] | ||
| + | <br>Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.</center> | ||
| }} | }} | ||
| + | |enlace=[https://ggbm.at/sHrSwdqj Propiedad de la parábola] | ||
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| + | |||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil. | ||
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| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | |||
| ==Excentricidad de la parábola== | ==Excentricidad de la parábola== | ||
| {{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la parábola es el cociente entre <math>c=d(F,O)\,</math> y <math>a=d(O,d)\,</math>. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1. | {{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la parábola es el cociente entre <math>c=d(F,O)\,</math> y <math>a=d(O,d)\,</math>. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1. | ||
| - | <center><math>e=\cfrac{c)}{a)}=1</math></center> | + | <center><math>e=\cfrac{c}{a}=1</math></center> |
| }} | }} | ||
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| + | ==Ecuaciones de la parábola== | ||
| + | ===Ecuación reducida de la parábola=== | ||
| + | {{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la parábola|enunciado=:La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es: | ||
| - | ==Construcciones de la parábola== | + | {{Caja|contenido=<math>y^2=2px\,</math>}} |
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| - | |enunciado='''Actividad 1:''' Método basado en su definición como lugar geométrico. | + | |
| - | |actividad=Activa la traza, desliza el punto P y observa. | + | |
| - | #¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento? | + | |demo=Recordemos que <math>p=d(F,d)\,</math>. Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son: |
| - | #¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD? | + | {{p}} |
| - | #¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P? | + | <center> <math>F \Big( \cfrac{p}{2},0 \Big) \qquad d: \; x=-\cfrac{p}{2}</math></center> |
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| + | Como cualquier punto <math>P(x,y)\,</math> de la parábola cumple que: | ||
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| + | <center> <math>d(P,F)=d(P,d)\,</math></center> | ||
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| + | Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos: | ||
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| + | Y simplificando: | ||
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| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2. | ||
| + | |enlace=[https://ggbm.at/a4xEeN3R Ecuación reducida de la parábola] | ||
| + | }} | ||
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| + | ===Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas=== | ||
| + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es: | ||
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
| - | Desliza el punto P y observa. | + | donde |
| - | Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P | + | ::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math> |
| - | *¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas? | + | |demo=Basta con desarrollar la ecuación |
| - | + | {{p}} | |
| - | Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior. | + | <center><math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math></center> |
| - | *¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada? | + | {{p}} |
| + | <center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | Despejando <math>y\,</math>: | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math>y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p} </math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | donde basta con llamar: | ||
| + | {{p}} | ||
| + | ::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math> | ||
| }} | }} | ||
| - | {{ai_cuerpo | + | {{p}} |
| - | |enunciado='''Actividad 3:''' La parábola generada por el centro de una circunferencia. | + | {{p}} |
| - | |actividad= | + | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Las coordenadas vértice <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas <math>y = ax^2 + bx + c \,</math>, son: |
| - | <center><iframe> | + | <center><math>\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}</math></center> |
| - | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_4.html | + | |demo=Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que: |
| - | width=780 | + | {{p}} |
| - | height=460 | + | ::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math> |
| - | name=myframe | + | {{p}} |
| - | </iframe></center> | + | Despejando <math>p\,</math> de la primera ecuación: <math>p=\cfrac{1}{2a}</math> |
| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
| - | Desliza el punto P y observa. | + | Despejando <math>\alpha \,</math> de la segunda ecuación: <math>\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}</math> |
| - | *¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento? | + | |
| - | *¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente? | + | Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math> |
| - | Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P. | ||
| - | *Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado. | ||
| }} | }} | ||
| + | {{p}} | ||
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| + | {{Video_enlace_julioprofe | ||
| + | |titulo1=Ejemplo 2 | ||
| + | |duracion=9'44" | ||
| + | |sinopsis=Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general <math>2x^2+8x-y+8=0</math>. | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=2pvke2ELR3M | ||
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| + | {{p}} | ||
| + | ==Construcciones de la parábola== | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=Método de construcción de la parábola basado en su definición como lugar geométrico. | ||
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| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=Construcción de la parábola como envolvente. | ||
| + | |enlace=[https://ggbm.at/yupsWRar La parábola como envolvente] | ||
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| + | {{p}} | ||
| + | {{Geogebra_enlace | ||
| + | |descripcion=Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia. | ||
| + | |enlace=[https://ggbm.at/BcwDydCq La parábola generada por el centro de una circunferencia] | ||
| + | }} | ||
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Tabla de contenidos |
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La parábola
Dados un punto
[editar] Elementos de la parábolaUna parábola de foco
| 
|
llamado foco, y una recta 
, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos 
del plano que equidistán del foco y de la directriz:
Propiedad de la parábola Descripción: Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.
Aplicaciones prácticas:
- Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
- La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
- Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.
| 
| 
| 
|
Tiro parabólico Descripción: En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.
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Excentricidad de la parábola
La excentricidad de la parábola es el cociente entre 
y 
. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.
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Ecuaciones de la parábola
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Ecuación reducida de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
- La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:
|
|
Demostración:
Recordemos que 
. Por tanto, las coordenadas del foco y la ecuación de la directiz son:
Como cualquier punto 
de la parábola cumple que:
Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, tenemos:
Elevando ambos miembros al cuadrado:
Y simplificando:
Ecuación reducida de la parábola Descripción: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2.
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Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas
Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto
, es:
|
|
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Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto , es:
|
|
Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:
Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical
- La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto , es:
|
|
donde
Demostración:
Basta con desarrollar la ecuación
Despejando 
:
donde basta con llamar:
Proposición
- Las coordenadas vértice , de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas
, son:
Demostración:
Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:
Despejando 
de la primera ecuación: 
Despejando 
de la segunda ecuación: 
de la tercera ecuación: 
Parábolas con ejes verticales y horizontales. (10'29") Sinopsis: Parábolas con ejes verticales y horizontales. Ejemplo
Ejemplo 1 (8'21") Sinopsis: Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación estandard y su ecuación general.
Ejemplo 2 (9'44") Sinopsis: Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general 2x2 + 8x − y + 8 = 0.
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Construcciones de la parábola
Trazado de la parábola a partir de su definición Descripción: Método de construcción de la parábola basado en su definición como lugar geométrico.
La parábola como envolvente Descripción: Construcción de la parábola como envolvente.
Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia.
