La parábola (1ºBach)

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-'''EN CONSTRUCCIÓN!!!!!''' 
==La parábola== ==La parábola==
{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Parabola.png]] {{Tabla75|celda2=[[Imagen:Parabola.png]]
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{{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz: {{Caja_Amarilla|texto=Dados un punto <math>F\,</math> llamado '''foco''', y una recta <math>d\,</math>, llamada '''directriz''', se llama '''parábola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano que equidistán del foco y de la directriz:
-{{Caja|contenido=<math>d(P,F)=d(P,d)\,</math>}}+{{Caja|contenido=<math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}</math>}}
}} }}
-{{p}}+ 
-'''Elementos de la parábola:'''+ 
 +===Elementos de la parábola===
{{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos: {{Caja Amarilla|texto=Una parábola de '''foco''' <math>F\,</math> y '''directriz''' <math>d\,</math>, determina los siguientes elementos:
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Propiedades de la parábola''|cuerpo=+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo+|descripcion=Escena que muestra la propiedad de la parábola de que cualquier "rayo" perpendicular a la directriz rebota en la tangente a la curva y se refleja en dirección al foco.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco.+
- +
-|actividad=+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_5.html+
-width=780+
-height=460+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-Desliza el punto verde hacia la derecha y describe lo que ves.+
'''Aplicaciones prácticas:''' '''Aplicaciones prácticas:'''
-Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. +*Las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
-La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.+*La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
 + 
 +*Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.
-Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal. 
{{Tabla4|celda1= {{Tabla4|celda1=
-<center>[[Imagen:Parab.gif|200px]]<br>La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.</center>+<center>[[Imagen:Parab.gif|193px]]
 +<br>La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.</center>
|celda2= |celda2=
-<center>[[Imagen:Erdfunkstelle Raisting 2.jpg|200px]]<br>Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.</center>+<center>[[Imagen:Erdfunkstelle Raisting 2.jpg|165px]]
 +<br>Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar.</center>
|celda3= |celda3=
-<center>[[Imagen:Solarofen.jpg|200px]]<br>Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.</center>+<center>[[Imagen:Solarofen.jpg|200px]]
 +<br>Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.</center>
|celda4= |celda4=
-<center>[[Imagen:Austinlight.jpg|200px]]<br>Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.</center>+<center>[[Imagen:Austinlight.jpg|200px]]
 +<br>Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco de una superficie parabólica.</center>
}} }}
- +|enlace=[https://ggbm.at/sHrSwdqj Propiedad de la parábola]
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-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' Tiro parabólico 
-|actividad=+{{p}}
-<center><iframe>+{{Geogebra_enlace
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_6.html+|descripcion=En la siguiente escena vamos a estudiar la trayectoria de un proyectil.
-width=780+|enlace=[https://ggbm.at/XXfkU9CP Tiro parabólico]
-height=460+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-'''Ejercicio:'''+
- +
-En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial.+
-*¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo?+
- +
-Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles.+
-*¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"?+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 91: Línea 67:
{{p}} {{p}}
-==Ecuación reducida de la parábola==+==Ecuaciones de la parábola==
 +===Ecuación reducida de la parábola===
{{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la parábola|enunciado=:La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es: {{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la parábola|enunciado=:La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:
Línea 116: Línea 93:
<center><math>y^2=2px\,</math></center> <center><math>y^2=2px\,</math></center>
}} }}
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la parábola''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz <math>p=2\,</math>. 
-|actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula: 
{{p}} {{p}}
-<center><math>y^2=2px\,</math></center>+{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2.
 +|enlace=[https://ggbm.at/a4xEeN3R Ecuación reducida de la parábola]
 +}}
{{p}} {{p}}
-Sustituyendo <math>p=2\,</math>, tenemos:+===Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas===
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es:
 + 
 +{{Caja|contenido=<math>(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,</math>}}
 +}}
{{p}} {{p}}
-<center><math>y^2=4x\,</math></center>+===Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical===
-{{p}}+{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es:
-Puedes ver su gráfica en la siguente escena:+
-<center><iframe>+{{Caja|contenido=<math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math>}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_2.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-'''Ejercicio:'''+
-#Halla la ecuación reducida de la parábola con p=3. Comprueba los resulatados en la escena.+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
 +Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical|enunciado=:La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, es:
-==Construcciones de la parábola==+{{Caja|contenido=<math>y = ax^2 + bx + c \,</math>}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Construcciones de la parábola''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Método basado en su definición como lugar geométrico.+
-|actividad=Activa la traza, desliza el punto P y observa.+
- +
-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?+
-#¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?+
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?+
- +
-<center><iframe>+donde
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_1.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
 +::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
 +|demo=Basta con desarrollar la ecuación
 +{{p}}
 +<center><math>(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,</math></center>
 +{{p}}
 +<center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2=2py-2p \beta\,</math></center>
 +{{p}}
 +<center><math>x^2 -2 \alpha x + \alpha^2 +2p \beta=2py \,</math></center>
 +{{p}}
 +Despejando <math>y\,</math>:
 +{{p}}
 +<center><math>y=\cfrac{1}{2p}x^2 -\cfrac{\alpha}{p} x + \cfrac{\alpha^2 +2p \beta}{2p} </math></center>
 +{{p}}
 +donde basta con llamar:
 +{{p}}
 +::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
}} }}
-{{ai_cuerpo+{{p}}
-|enunciado='''Actividad 2:''' La parábola como envolvente.+{{p}}
-|actividad=+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Las coordenadas vértice <math>O(\alpha,\beta)\,</math>, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas <math>y = ax^2 + bx + c \,</math>, son:
-<center><iframe>+<center><math>\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}</math></center>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_3.html+|demo=Partiendo del resultado anterior en el que teníamos que:
-width=780+{{p}}
-height=460+::<math>a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta</math>
-name=myframe+{{p}}
-</iframe></center>+Despejando <math>p\,</math> de la primera ecuación: <math>p=\cfrac{1}{2a}</math>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-Desliza el punto P y observa. +Despejando <math>\alpha \,</math> de la segunda ecuación: <math>\alpha=-pb=-\cfrac{b}{2a}</math>
-Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P+Despejando <math>\beta \,</math> de la tercera ecuación: <math>\beta=c-\cfrac{\alpha^2}{2p}=c-\cfrac{\cfrac{b^2}{4a^2}}{\cfrac{1}{a}}=c-\cfrac{b^2}{4a}=\cfrac{4ac-b^2}{4a}</math>
-*¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?+
-Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior. 
-*¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada? 
}} }}
-{{ai_cuerpo+{{p}}
-|enunciado='''Actividad 3:''' La parábola generada por el centro de una circunferencia.+{{Video_enlace_unicoos
-|actividad=+|titulo1=Parábolas con ejes verticales y horizontales.
- +|duracion=10'29"
-<center><iframe>+|sinopsis=Parábolas con ejes verticales y horizontales. Ejemplo
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_4.html+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/conicas/parabola/parabola-01
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/parabola_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-Desliza el punto P y observa. +
-*¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?+
-*¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?+
- +
-Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.+
-*Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado.+
}} }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejemplo 1
 +|duracion=8'21"
 +|sinopsis=Construir la parábola con vértice (3,2) y foco (3,4). Halla su ecuación estandard y su ecuación general.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8
}} }}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejemplo 2
 +|duracion=9'44"
 +|sinopsis=Halla el vértice y el foco de la parábola de ecuación general <math>2x^2+8x-y+8=0</math>.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2pvke2ELR3M
 +}}
 +{{p}}
 +==Construcciones de la parábola==
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=Método de construcción de la parábola basado en su definición como lugar geométrico.
 +|enlace=[https://ggbm.at/e4XQQ2Ss Trazado de la parábola a partir de su definición]
 +}}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=Construcción de la parábola como envolvente.
 +|enlace=[https://ggbm.at/yupsWRar La parábola como envolvente]
 +}}
 +{{p}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=Generación de la parábola a partir del centro de una circunferencia.
 +|enlace=[https://ggbm.at/BcwDydCq La parábola generada por el centro de una circunferencia]
 +}}
 +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

La parábola

Dados un punto F\, llamado foco, y una recta d\,, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano que equidistán del foco y de la directriz:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}


Elementos de la parábola

Una parábola de foco F\, y directriz d\,, determina los siguientes elementos:

  • Vértice: O\,.
  • Distancia del foco a la directriz: p=d(d,F)\,.
Imagen:Parabola.png

Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre c=d(F,O)\, y a=d(O,d)\,. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

e=\cfrac{c}{a}=1

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

ejercicio

Ecuación reducida de la parábola


La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

y^2=2px\,

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas


La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

ejercicio

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical


La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:

ejercicio

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical


La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

y = ax^2 + bx + c \,

donde

a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta

ejercicio

Proposición


Las coordenadas vértice O(\alpha,\beta)\,, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y = ax^2 + bx + c \,, son:
\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}

Construcciones de la parábola

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda