La hipérbola (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 La hipérbola
2 Elementos de la hipérbola
3 Excentricidad de la hipérbola
4 Ecuaciones de la hipérbola
5 Construcciones de la hipérbola

[editar]

La hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

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Elementos de la hipérbola

Una una hipérbola de focos $F\,$ y $F'\,$ , con asíntotas $r\,$ y $r'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y su perpendicular pasando por su centro $O\,$ , determina los siguientes segmentos:

Semieje: $a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ .
Semidistancia focal: $c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ .

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la hipérbola)
$c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)$
Las pendientes de las asíntotas son:

$\cfrac{b}{a}$ y $\; -\cfrac{b}{a}$

Demostración:

La constante de la hipérbola es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la hipérbola:

$k=\overline{AF'}+\overline{AF}=\overline{AF'}-\overline{A'F'}=\overline{AA'}=2a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de lados $a\,$ , $b\,$ y $c\,$ , tenemos

$c^2=a^2+b^2\,$

Por ser $c\,$ la hipotenusa y $a\,$ un cateto, tenemos que $c>a\,$ .

La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es:

$tg \, \alpha=\cfrac{b}{a}$

y para la decreciente, es igual pero con signo opuesto.

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Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

$e=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

En una hipérbola $e>1\,$ .

Demostración:

Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que $c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1$

Excentricidad de la hipérbola Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.

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Ecuaciones de la hipérbola

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Ecuación reducida de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:

Sean $F(c,0)\,$ y $F'(-c,0)\,$ los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

$|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

$x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

$c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,$

Reordenando y agrupando términos:

$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,$

Teniendo en cuenta que $c^2-a^2=b^2\,$ :

$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,$

Dividiendo la expresión por $a^2b^2\,$ :

se obtiene la cuación buscada:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Ecuación reducida de la hipérbola Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.

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Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1$

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Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semieje $a\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

Si el eje FF' es paralelo al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

$\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1$

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.

Ecuación de la hipérbola con el eje vertical Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.

Ejemplo 1 (parte 1) (9'32") Sinopsis:

Representa la cónica de ecuación general $9 x 2 - 16 y 2 - 108 x + 128 y + 212 = 0$ .

Ejemplo 1 (parte 2) (9'52") Sinopsis:

Representa la cónica de ecuación general $9 x 2 - 16 y 2 - 108 x + 128 y + 212 = 0$ .

Ejemplo 2 (16'15") Sinopsis:

Representa gráficamente la hipérbola de ecuación $4 x 2 - 3 y 2 - 8 x - 8 = 0$ .

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Construcciones de la hipérbola

Trazado de la hipérbola a partir de la definición Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.

La hipérbola como envolvente Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_hip%C3%A9rbola_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Tabla de contenidos

La hipérbola

Elementos de la hipérbola

Excentricidad de la hipérbola

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

Construcciones de la hipérbola

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 }}
 {{p}}
+==La hipérbola==
+{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F\,</math> y <math>F'\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada '''constante de la hipérbola''' (<math>k < d(F,F')\,</math>), se llama '''hipérbola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a <math>k\,</math>:
+{{Caja|contenido=<math>\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}</math>}}
+}}
+{{p}}
 ==Elementos de la hipérbola==
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Hiperbola.png]]
+{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Hiperbola.png|center]]
 |celda1=
-{{Caja Amarilla|texto=Una una elipse de '''focos''' <math>F\,</math> y <math>F'\,</math>, con '''asíntotas''' <math>r\,</math> y <math>r'\,</math>, con '''ejes''' de simetría <math>AA'\,</math> y su perpendicular pasando por el '''centro''' <math>O\,</math> de la hipérbola, determina los siguientes segmentos:
+{{Caja Amarilla|texto=Una una hipérbola de '''focos''' {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>F\,</math>}} y {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>F'\,</math>}}, con '''asíntotas''' <math>r\,</math> y {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>r'\,</math>}}, con '''ejes''' de simetría {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>AA'\,</math>}} y su perpendicular pasando por su '''centro''' {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>O\,</math>}}, determina los siguientes segmentos:
 {{p}}
-*{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}} '''(semieje)'''.
+*'''Semieje:''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}}.
-*{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>c=\overline{OF}=\overline{OF'}</math>}} '''(semidistancia focal)'''.
+*'''Semidistancia focal:''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>c=\overline{OF}=\overline{OF'}</math>}} .
 }}
 {{p}}
 {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
-*<math>k=2a\,</math> (constante de la hipérbola)
+:*<math>k=2a\,</math> (constante de la hipérbola)
-*<math>c^2=a^2+b^2\,</math>
+:*<math>c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)</math>
-*<math>c>a\,</math>
+:*Las pendientes de las asíntotas son:
+<center><math>\cfrac{b}{a}</math>{{b4}}y <math>\; -\cfrac{b}{a}</math></center>
 |demo=
 *La constante de la hipérbola es <math>k=2a\,</math>, ya que, al ser <math>A\,</math> un punto de la hipérbola:
 <center><math>c^2=a^2+b^2\,</math></center>
+Por ser <math>c\,</math> la hipotenusa y <math>a\,</math> un cateto, tenemos que <math>c>a\,</math>.
-*Por ser <math>c\,</math> la hipotenusa y <math>a\,</math> un cateto, tenemos que <math>c>a\,</math>.
+*La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es:
+<center><math>tg \, \alpha=\cfrac{b}{a}</math></center>
+y para la decreciente, es igual pero con signo opuesto.
 }}
 }}
 {{p}}
-==Excentricidad de la elipse==
+==Excentricidad de la hipérbola==
-{{Caja Amarilla|texto=La '''escentricidad''' es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.
+{{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:
-La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:
 <center><math>e=\cfrac{c}{a}</math></center>
 {{p}}
 {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado=
-*<math>0<e<1\,</math>.
+En una hipérbola <math>e>1\,</math>.
-*Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.
+|demo=Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1</math>
-|demo=
+}}
-*Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1</math>
-:y como <math>a>0\,</math> y <math>c>0\,</math>, tenemos que <math>\cfrac{c}{a}>0</math>
-*Cuanto más próxima a 0 sea la excentricidad, más proximo a cero estará <math>c\,</math> (la distancia focal se aproximará a cero) y <math>a\,</math> se aproximará a <math>b\,</math>. Así, la elipse, se aproximará a una circunferencia de centro los focos y radio <math>a=b\,</math>.
-}}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Excentricidad de la elipse''|cuerpo=
+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.
+|enlace=[https://ggbm.at/nXJQJ9zK Excentricidad de la hipérbola]
-|actividad=
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_4.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicios:'''
-#¿A qué se le llama excentricidad de una elipse? ¿Es correcto el valor de la excentricidad de la elipse de la figura?
-#Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios.
-##¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una elipse?
-##¿Cómo son las elipses de excentricidad grande (próxima a 1)? ¿Y la elipse de excentricidad 0?
-##¿Sabías que la Tierra da vueltas alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica de excentricidad 0.016751? Aproxima a ese valor el de la excentricidad de la elipse de la figura. ¿Describe la figura resultante. ¿Dónde crees que se sitúa el Sol?
-##Los planetas de nuestro Sistema Solar cuya órbita tiene mayor excentricidad son Marte (e=0.09) y Plutón (e=0.25). Comprueba qué aspecto tiene dichas órbitas.
-#Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios.
-##¿Qué tienen en común todas las elipses con la misma excentricidad?
-}}
 }}
 {{p}}
-==Ecuaciones de la elipse==
+==Ecuaciones de la hipérbola==
-===Ecuación reducida de la elipse===
+===Ecuación reducida de la hipérbola===
-{{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la elipse|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje mayor <math>a\,</math> y semieje menor <math>b\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
+{{Teorema|titulo=Ecuación reducida de la hipérbola|enunciado=:La ecuación de una hipérbola con semieje <math>a\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
-{{Caja|contenido=<math>\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1</math>}}
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1</math>}}
-|demo=Sean <math>F(-c,0)\,</math> y <math>F'(c,0)\,</math> los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
+|demo=Sean <math>F(c,0)\,</math> y <math>F'(-c,0)\,</math> los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
 {{p}}
-<center><math>d(P,F)+d(P,F')=2a\,</math></center>
+<center><math>|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,</math></center>
 {{p}}
-Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática:
+Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:
 {{p}}
-<center><math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a</math></center>
+<center><math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a</math></center>
 {{p}}
 Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:
 {{p}}
-<center><math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
+<center><math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
 {{p}}
 Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:
 {{p}}
-<center><math>x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
+<center><math>x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
 {{p}}
-<center><math>-4cx-4a^2=-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
+<center><math>-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
 {{p}}
-<center><math>cx+a^2=a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
+<center><math>cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}</math></center>
 {{p}}
 Se elevan al cuadrado los dos miembros:
 Reordenando y agrupando términos:
 {{p}}
-<center><math>(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2b^2\,</math></center>
+<center><math>(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,</math></center>
 {{p}}
-Teniendo en cuenta que <math>a^2-c^2=b^2\,</math>:
+Teniendo en cuenta que <math>c^2-a^2=b^2\,</math>:
 {{p}}
-<center><math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\,</math></center>
+<center><math>b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,</math></center>
 {{p}}
 Dividiendo la expresión por <math>a^2b^2\,</math>:
 {{p}}
 se obtiene la cuación buscada:
-<center><math>\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1</math></center>
+<center><math>\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1</math></center>
 }}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la elipse''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.
-|actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula:
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1</math></center>
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.
+|enlace=[https://ggbm.at/pG5syt8n Ecuación reducida de la hipérbola]
+}}
 {{p}}
-Sustituyendo a=5 y b=3, tenemos:
-{{p}}
-<center><math>\cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{9}=1</math></center>
-{{p}}
-Puedes ver su gráfica en la siguente escena:
-<center><iframe>
+===Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y===
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_2.html
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y|enunciado=:La ecuación de una hipérbola con semieje <math>a\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicio:'''
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1</math>}}
-#Halla la ecuación reducida de la elipse cuyos ejes miden 16 y 10. Comprueba los resulatados en la escena
-}}
 }}
 {{p}}
-===Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y===
+===Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas===
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y|enunciado=*La ecuación de una elipse con semieje mayor <math>a\,</math> y semieje menor <math>b\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje <math>a\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es:
+:*Si el eje FF' es paralelo al eje X:
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math>}}
-{{Caja|contenido=<math>\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1</math>}}
+:*Si el eje FF' es perpendicular al eje X:
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1</math>}}
-*Su excentricidad es: <math>e=\cfrac{a}{c}</math>
 }}
 {{p}}
+{{Geogebra_enlace
-===Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas===
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semiejes <math>a\,</math> y <math>b\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es:
+|enlace=[https://ggbm.at/WJxFDtKT Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas]
-{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math>}}
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la elipse''|cuerpo=
+{{Geogebra_enlace
-{{ai_cuerpo
+|descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2  y b=3.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.
+|enlace=[https://ggbm.at/KYXPc5Uz Ecuación de la hipérbola con el eje vertical]
+}}
-|actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula:
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math></center>
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 1 (parte 1)
+|duracion=9'32"
+|sinopsis=Representa la cónica de ecuación general <math>9x^2-16y^2-108x+128y+212=0</math>.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zMDjlUlArqI
+}}
 {{p}}
-Sustituyendo <math>a=5\,</math>, <math>b=2\,</math>, <math>\alpha=3\,</math>, <math>\beta=-1\,</math>, tenemos:
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 1 (parte 2)
+|duracion=9'52"
+|sinopsis=Representa la cónica de ecuación general <math>9x^2-16y^2-108x+128y+212=0</math>.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6jP3VRiEa-o
+}}
 {{p}}
-<center><math>\cfrac{(x-3)^2}{25}+\cfrac{(y+1)^2}{4}=1</math></center>
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Ejemplo 2
+|duracion=16'15"
+|sinopsis=Representa gráficamente la hipérbola de ecuación <math>4x^2-3y^2-8x-8=0</math>.
+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/conicas/hiperbola/hiperbola-no-centrada-en-el-origen
+}}
 {{p}}
-Puedes ver su gráfica en la siguente escena:
-<center><iframe>
+==Construcciones de la hipérbola==
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_3.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-'''Ejercicio:'''
-#Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros.
 {{p}}
-::a) <math>\cfrac{(x+2)^2}{16}+\cfrac{(y-3)^2}{25}=1</math>
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
-::b) <math>x^2+9y^2=9\,</math>
+|enlace=[https://ggbm.at/ukt4c5TW Trazado de la hipérbola a partir de la definición]
-}}}}
+}}
 {{p}}
-==Construcciones de la elipse==
+{{Geogebra_enlace
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Construcciones de la elipse''|cuerpo=
+|descripcion=En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente.
-{{ai_cuerpo
+|enlace=[https://ggbm.at/d8srPsgC La hipérbola como envolvente]
-|enunciado='''Actividad 1:''' Método del jardinero.
-|actividad=[[Imagen:trazado_elipse.jpg|right|180px]] Los jardineros, para trazar una forma elíptica sobre la tierra, clavan dos estacas en el suelo, atan entre ambas una cuerda suficientemente amplia y, manteniéndola tensa, trazan una línea sobre la tierra apoyando un palo sobre la cuerda y deslizándolo sobre la misma.
-En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.
-#¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
-#¿Qué representan los segmentos morados?
-#¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
-#¿Qué ocurre si pones c=0?
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-|enunciado='''Actividad 2:''' La elipse como envolvente (1).
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto Q y observa.
-*¿Qué cumple el segmento QR en cada momento respecto al punto F?
-Activa el trazo de QR y vuelve a deslizar el punto Q
-*¿Cuál es la envolvente de la familia de segmentos QR?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de segmentos?
-Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.
-*¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la elipse generada?
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-|enunciado='''Actividad 3:''' La elipse como envolvente (2).
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_7.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto Q y observa. La figura muestra por donde habría de doblarse la cicunferencia (si fuese de papel) para que el punto Q coincidiese con el F.
-Activa el trazo de la cuerda y vuelve a deslizar el punto Q
-*¿Cuál es la envolvente de la familia de esas cuerdas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de segmentos?
-Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.
-*¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la elipse generada?
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-|enunciado='''Actividad 4:''' La elipse a partir de dos circunferencias.
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/elipse_8.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Desliza el punto Q y observa.
-*¿Cómo está determinado el punto P?
-Activa su trazo y vuelve a deslizar el punto Q.
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-|enunciado='''Actividad 5:''' La elipse como hipotrocoide.
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-Desliza el punto verde y observa.
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-|enunciado='''Actividad 6:''' La elipse mediante el compás de [[Arquímedes]].
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-Al utilizar el deslizador comprobarás el movimiento de un segmento de longitud fija cuyos extremos se deslizan sobre dos ejes perpendiculares.
-*¿Qué trayectoria describirá un punto determinado de ese segmento?
-Activa el trazo de P para comprobarlo.
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-|enunciado='''Actividad 7:''' La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.
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-Desliza el punto Q y observa.
-Activa el trazo del centro de la circunferencia interior y vuelve a deslizar el punto Q.
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 {{p}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]