La hipérbola (1ºBach)
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- | '''EN CONSTRUCCIÓN!!!!!''' | ||
==La hipérbola== | ==La hipérbola== | ||
{{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F\,</math> y <math>F'\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada '''constante de la hipérbola''' (<math>k < d(F,F')\,</math>), se llama '''hipérbola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a <math>k\,</math>: | {{Caja_Amarilla|texto=Dados dos puntos <math>F\,</math> y <math>F'\,</math> llamados '''focos''', y una distancia <math>k\,</math>, llamada '''constante de la hipérbola''' (<math>k < d(F,F')\,</math>), se llama '''hipérbola''' al lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math> del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a <math>k\,</math>: | ||
- | {{Caja|contenido=<math>|d(P,F)-d(P,F')|=k\,</math>}} | + | {{Caja|contenido=<math>\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}</math>}} |
}} | }} | ||
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{{Tabla75|celda2=[[Imagen:Hiperbola.png|center]] | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:Hiperbola.png|center]] | ||
|celda1= | |celda1= | ||
- | {{Caja Amarilla|texto=Una una elipse de '''focos''' <math>F\,</math> y <math>F'\,</math>, con '''asíntotas''' <math>r\,</math> y <math>r'\,</math>, con '''ejes''' de simetría <math>AA'\,</math> y su perpendicular pasando por su '''centro''' <math>O\,</math>, determina los siguientes segmentos: | + | {{Caja Amarilla|texto=Una una hipérbola de '''focos''' {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>F\,</math>}} y {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>F'\,</math>}}, con '''asíntotas''' <math>r\,</math> y {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>r'\,</math>}}, con '''ejes''' de simetría {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>AA'\,</math>}} y su perpendicular pasando por su '''centro''' {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>O\,</math>}}, determina los siguientes segmentos: |
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- | *{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}} '''(semieje)'''. | + | *'''Semieje:''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=\overline{OA}=\overline{OA'}</math>}}. |
- | *{{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>c=\overline{OF}=\overline{OF'}</math>}} '''(semidistancia focal)'''. | + | *'''Semidistancia focal:''' {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>c=\overline{OF}=\overline{OF'}</math>}} . |
}} | }} | ||
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{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado= | {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado= | ||
- | *<math>k=2a\,</math> (constante de la hipérbola) | + | :*<math>k=2a\,</math> (constante de la hipérbola) |
- | *<math>c^2=a^2+b^2\,</math> | + | :*<math>c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)</math> |
- | *<math>c>a\,</math> | + | :*Las pendientes de las asíntotas son: |
- | *Las asíntotas tienen pendientes <math>\cfrac{b}{a}</math> y <math>-\cfrac{b}{a}</math>. | + | <center><math>\cfrac{b}{a}</math>{{b4}}y <math>\; -\cfrac{b}{a}</math></center> |
|demo= | |demo= | ||
*La constante de la hipérbola es <math>k=2a\,</math>, ya que, al ser <math>A\,</math> un punto de la hipérbola: | *La constante de la hipérbola es <math>k=2a\,</math>, ya que, al ser <math>A\,</math> un punto de la hipérbola: | ||
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<center><math>c^2=a^2+b^2\,</math></center> | <center><math>c^2=a^2+b^2\,</math></center> | ||
- | + | Por ser <math>c\,</math> la hipotenusa y <math>a\,</math> un cateto, tenemos que <math>c>a\,</math>. | |
- | *Por ser <math>c\,</math> la hipotenusa y <math>a\,</math> un cateto, tenemos que <math>c>a\,</math>. | + | |
*La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es: | *La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es: | ||
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==Excentricidad de la hipérbola== | ==Excentricidad de la hipérbola== | ||
- | {{Caja Amarilla|texto=La '''excentricidad''' es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. | + | {{Caja Amarilla|texto=La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje: |
- | + | ||
- | La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje: | + | |
<center><math>e=\cfrac{c}{a}</math></center> | <center><math>e=\cfrac{c}{a}</math></center> | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
{{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado= | {{Teorema|titulo=Propiedades|enunciado= | ||
- | :En una hipérbola <math>e>1\,</math>. | + | En una hipérbola <math>e>1\,</math>. |
|demo=Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1</math> | |demo=Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1</math> | ||
}} | }} | ||
+ | |||
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- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Excentricidad de la hipérbola''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
- | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad. |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad. | + | |enlace=[https://ggbm.at/nXJQJ9zK Excentricidad de la hipérbola] |
- | + | ||
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- | '''Ejercicios:''' | + | |
- | Modifica el valor de e (deslizando el punto verde) y observa los cambios. | + | |
- | + | ||
- | *¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una hipérbola? | + | |
- | *¿Cómo son las hipérbola de excentricidad grande? ¿y las de poca excentricidad (próxima a 1)? | + | |
- | *Intenta visualizar una '''hipérbola equilátera''' (asíntotas perpendiculares). ¿Cuál es su excentricidad? ¿Sabrías demostrarlo? | + | |
- | + | ||
- | Pulsa el botón Actualizar para recuperar la imagen inicial. Modifica el valor de a y observa los cambios. | + | |
- | + | ||
- | *¿Qué tienen en común todas las hipérbolas con la misma excentricidad? | + | |
- | + | ||
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- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación reducida de la hipérbola''|cuerpo= | ||
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- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola semieje 4 y semidistancia focal 5. | ||
- | |actividad=La ecuación reducida viene dada por la fórmula: | ||
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- | <center><math>\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1</math></center> | + | {{Geogebra_enlace |
- | {{p}} | + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5. |
- | Sustituyendo <math>a=4\,</math> y <math>b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2+4^2}=3</math>, tenemos: | + | |enlace=[https://ggbm.at/pG5syt8n Ecuación reducida de la hipérbola] |
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- | <center><math>\cfrac{x^2}{16}-\cfrac{y^2}{9}=1</math></center> | + | |
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- | Puedes ver su gráfica en la siguente escena: | + | |
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- | + | ||
- | '''Ejercicio:''' | + | |
- | #Halla la ecuación reducida de la elipse cuyo eje mide 16 y su distancia focal 10. Comprueba los resulatados en la escena. | + | |
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===Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y=== | ===Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y=== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y|enunciado=*La ecuación de una hipérbola con semieje <math>a\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es: | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y|enunciado=:La ecuación de una hipérbola con semieje <math>a\,</math>, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es: |
{{Caja|contenido=<math>\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1</math>}} | ||
}} | }} | ||
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===Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas=== | ===Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas=== | ||
{{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje <math>a\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es: | {{Teorema_sin_demo|titulo=Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen|enunciado=:La ecuación de una elipse con semieje <math>a\,</math> y centro <math>O(\alpha,\beta)\,</math> es: | ||
- | *Si el eje FF' es paralelo al eje X: | + | :*Si el eje FF' es paralelo al eje X: |
{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math>}} | ||
- | *Si el eje FF' es perpendicular al eje X: | + | :*Si el eje FF' es perpendicular al eje X: |
{{Caja|contenido=<math>\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1</math>}} | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1</math>}} | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
- | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5. |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5. | + | |enlace=[https://ggbm.at/WJxFDtKT Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas] |
- | + | }} | |
- | |actividad=La ecuación viene dada por la fórmula: | + | |
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- | <center><math>\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1</math></center> | + | {{Geogebra_enlace |
- | + | |descripcion=En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3. | |
- | + | |enlace=[https://ggbm.at/KYXPc5Uz Ecuación de la hipérbola con el eje vertical] | |
- | Sustituyendo: {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>a=3 \, , \quad b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\, , \quad \alpha=-3\, , \quad \beta=1\,</math>}}, tenemos: | + | }} |
- | + | ||
- | + | ||
- | <center><math>\cfrac{(x+3)^2}{9}-\cfrac{(y-1)^2}{16}=1</math></center> | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | Puedes ver su gráfica en la siguente escena: | + | {{Video_enlace_julioprofe |
- | + | |titulo1=Ejemplo 1 (parte 1) | |
- | <center><iframe> | + | |duracion=9'32" |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_3.html | + | |sinopsis=Representa la cónica de ecuación general <math>9x^2-16y^2-108x+128y+212=0</math>. |
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | '''Ejercicio:''' | + | |
- | #Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros. | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | ::a) <math>\cfrac{(x-4)^2}{25}+\cfrac{(y+1)^2}{4}=1</math> | ||
- | ::b) <math>4x^2-y^2=4\,</math> | + | {{Video_enlace_julioprofe |
+ | |titulo1=Ejemplo 1 (parte 2) | ||
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+ | |sinopsis=Representa la cónica de ecuación general <math>9x^2-16y^2-108x+128y+212=0</math>. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=6jP3VRiEa-o | ||
}} | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2''' En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3. | ||
- | |||
- | |actividad=La ecuación viene dada por la fórmula: | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | <center><math>\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1</math></center> | + | {{Video_enlace_unicoos |
- | + | |titulo1=Ejemplo 2 | |
- | + | |duracion=16'15" | |
- | Sustituyendo: {{sube|porcentaje=10%|contenido=<math>a=2 \, , \quad b=3\, , \quad \alpha=3\, , \quad \beta=-1\,</math>}}, tenemos: | + | |sinopsis=Representa gráficamente la hipérbola de ecuación <math>4x^2-3y^2-8x-8=0</math>. |
- | + | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/conicas/hiperbola/hiperbola-no-centrada-en-el-origen | |
- | + | }} | |
- | <center><math>\cfrac{(y+1)^2}{9}-\cfrac{(x-3)^2}{4}=1</math></center> | + | |
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- | Puedes ver su gráfica en la siguente escena: | ||
- | <center><iframe> | + | ==Construcciones de la hipérbola== |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_5.html | + | |
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- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | '''Ejercicio:''' | + | |
- | #Usando la escena anterior, intenta representar las siguientes elipses y averigua sus parámetros. | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | ::a) <math>\cfrac{(y-1)^2}{4}+\cfrac{(x-2)^2}{16}=1</math> | + | {{Geogebra_enlace |
- | + | |descripcion=En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico. | |
- | ::b) <math>y^2-x^2=1\,</math> | + | |enlace=[https://ggbm.at/ukt4c5TW Trazado de la hipérbola a partir de la definición] |
- | }} | + | |
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | + | {{Geogebra_enlace | |
- | ==Construcciones de la hipérbola== | + | |descripcion=En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente. |
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Construcciones de la hipérbola''|cuerpo= | + | |enlace=[https://ggbm.at/d8srPsgC La hipérbola como envolvente] |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Usando la definición de hipérbola como lugar geométrico. | + | |
- | |actividad= | + | |
- | En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa. | + | |
- | + | ||
- | *¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento? | + | |
- | *¿Qué representan los segmentos verde y morado? | + | |
- | *¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P? | + | |
- | *Desliza ahora el punto P' | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_1.html | + | |
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- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | }} | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 2:''' La hipérbola como envolvente (1). | + | |
- | |actividad= | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_6.html | + | |
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- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/hiperbola_6.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | Desliza el punto Q y observa los cambios. | + | |
- | + | ||
- | Activa el trazo de la recta y vuelve a deslizar Q | + | |
- | + | ||
- | *Aparece una hipérbola como la envolvente ¿de qué familia de rectas? | + | |
- | + | ||
- | Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior. | + | |
- | + | ||
- | *¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la cónica generada? | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
- | + | ||
}} | }} | ||
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Revisión actual
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Tabla de contenidos |
La hipérbola
Dados dos puntos y
llamados focos, y una distancia
, llamada constante de la hipérbola (
), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos
del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a
:
|
Elementos de la hipérbola
Una una hipérbola de focos
Propiedades
![]() ![]() Demostración:
![]()
![]() Por ser
![]() |
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:
![e=\cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/4/a/4/4a44d856123b5ccb0e0e6a4fbf23088b.png)
Propiedades
En una hipérbola .
Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que
![c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1](/wikipedia/images/math/3/7/f/37fa13c3ca20267fc2ba7489f1f769e6.png)
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuación reducida de la hipérbola
Ecuación reducida de la hipérbola
- La ecuación de una hipérbola con semieje
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:
|
Sean y
los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:
![|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,](/wikipedia/images/math/7/f/8/7f89da211877e545072872ce0761136a.png)
Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a](/wikipedia/images/math/9/9/3/9938b0f798809aebf6f6a1b8f2c47ef1.png)
Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:
![\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/2/1/d/21d6287aa30368ce278146be1b619e48.png)
Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:
![x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/9/7/f/97f0b37a5277baa58fe0b6f910026e9b.png)
![-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/d/d/2/dd299ef91445849bcbf7ae9cc8967aa6.png)
![cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/3/b/c/3bcdf92eb3887a7c492d4cc9a7a638a8.png)
Se elevan al cuadrado los dos miembros:
![c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,](/wikipedia/images/math/5/f/0/5f0228c277977f676f9d1db6168ec52d.png)
Reordenando y agrupando términos:
![(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,](/wikipedia/images/math/f/7/4/f74a2835e73f2b218915a18fbb36cbdb.png)
Teniendo en cuenta que :
![b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,](/wikipedia/images/math/5/7/6/5767e2016721688c6fbb0ede82d5a0a5.png)
Dividiendo la expresión por :
se obtiene la cuación buscada:
![\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1](/wikipedia/images/math/f/c/4/fc498f67c3aa26217dd3156eee6727ec.png)
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.
Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y
Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y
- La ecuación de una hipérbola con semieje
, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:
|
Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas
Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen
- La ecuación de una elipse con semieje
y centro
es:
- Si el eje FF' es paralelo al eje X:
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- Si el eje FF' es perpendicular al eje X:
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En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Representa la cónica de ecuación general 9x2 − 16y2 − 108x + 128y + 212 = 0.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Representa la cónica de ecuación general 9x2 − 16y2 − 108x + 128y + 212 = 0.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Representa gráficamente la hipérbola de ecuación 4x2 − 3y2 − 8x − 8 = 0.
Construcciones de la hipérbola
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente.