La hipérbola (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 La hipérbola
2 Elementos de la hipérbola
3 Excentricidad de la hipérbola
4 Ecuaciones de la hipérbola
5 Construcciones de la hipérbola

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La hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

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Elementos de la hipérbola

Una una hipérbola de focos $F\,$ y $F'\,$ , con asíntotas $r\,$ y $r'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y su perpendicular pasando por su centro $O\,$ , determina los siguientes segmentos:

Semieje: $a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ .
Semidistancia focal: $c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ .

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la hipérbola)
$c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)$
Las pendientes de las asíntotas son:

$\cfrac{b}{a}$ y $\; -\cfrac{b}{a}$

Demostración:

La constante de la hipérbola es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la hipérbola:

$k=\overline{AF'}+\overline{AF}=\overline{AF'}-\overline{A'F'}=\overline{AA'}=2a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de lados $a\,$ , $b\,$ y $c\,$ , tenemos

$c^2=a^2+b^2\,$

Por ser $c\,$ la hipotenusa y $a\,$ un cateto, tenemos que $c>a\,$ .

La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es:

$tg \, \alpha=\cfrac{b}{a}$

y para la decreciente, es igual pero con signo opuesto.

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Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

$e=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

En una hipérbola $e>1\,$ .

Demostración:

Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que $c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1$

Excentricidad de la hipérbola Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.

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Ecuaciones de la hipérbola

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Ecuación reducida de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:

Sean $F(c,0)\,$ y $F'(-c,0)\,$ los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

$|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

$x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

$c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,$

Reordenando y agrupando términos:

$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,$

Teniendo en cuenta que $c^2-a^2=b^2\,$ :

$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,$

Dividiendo la expresión por $a^2b^2\,$ :

se obtiene la cuación buscada:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Ecuación reducida de la hipérbola Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.

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Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1$

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Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semieje $a\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

Si el eje FF' es paralelo al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

$\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1$

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.

Ecuación de la hipérbola con el eje vertical Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.

Ejemplo 1 (parte 1) (9'32") Sinopsis:

Representa la cónica de ecuación general $9 x 2 - 16 y 2 - 108 x + 128 y + 212 = 0$ .

Ejemplo 1 (parte 2) (9'52") Sinopsis:

Representa la cónica de ecuación general $9 x 2 - 16 y 2 - 108 x + 128 y + 212 = 0$ .

Ejemplo 2 (16'15") Sinopsis:

Representa gráficamente la hipérbola de ecuación $4 x 2 - 3 y 2 - 8 x - 8 = 0$ .

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Construcciones de la hipérbola

Trazado de la hipérbola a partir de la definición Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.

La hipérbola como envolvente Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_hip%C3%A9rbola_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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