Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Base de vectores en el plano
- 1.1 Base ortogonal y ortonormal
2 Coordenadas de un vector respecto de una base
3 Operaciones con vectores dados por coordenadas
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 174)

Base de vectores en el plano

Proposición

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Demostración:[Mostrar]

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones. La representaremos por $B(\vec{x},\vec{y})$ .

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\vec{x},\vec{y})$ , por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector $\vec{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única: $\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}$

Al par de números $(a,b)\,$ los llamaremos las coordenadas del vector $\vec{v}$ respecto de la base $B(\vec{x},\vec{y})$ . Lo expresaremos $\vec{v}=(a,b)$ , o bien, $\vec{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\vec{x}(1,0)$ e $\vec{y}(0,1)$ , ya que $\vec{x}=1 \vec{x}+0 \vec{y}$ y $\vec{y}=0 \vec{x}+1 \vec{y}$ .

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación: Combinación lineal de vectores. Bases Descripción: [Mostrar]

2 ejercicios (13´40") Sinopsis: [Mostrar]

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \vec{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \vec{u}+b \vec{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Operaciones con vectores dados por coordenadas [Mostrar]

(Pág. 175)

Ejercicios resueltos: Operaciones con vectores dados por coordenadas

1. Sean $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(5,-2)$ . Halla y comprueba gráficamente que:

a) $3 \, \vec{u} = (6,9)$

b) $\vec{u}+\vec{v} = (7,1)$

2. Sean $\vec{u}=(0,-1)$ , $\vec{v}=(-1,0)$ y $\vec{w}=(2,-3)$ . Calcula "a" y "b" para que $\vec{w}=a\, \vec{u} + b\, \vec{v}$ .

Solución:[Mostrar]

Operaciones con vectores dados por coordenadas [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Coordenadas de un vector

(Pág. 175)

1b,c

1a,b

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Coordenadas_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 (Pág. 174)
 ==Base de vectores en el plano==
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-<center><math>\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}</math></center>
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 *Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números <math>a\,</math> y <math>b\,</math> para los que se cumple la igualdad anterior.
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+'''1ª parte:'''
+Para la demostración de la primera parte tienes el siguiente videotutorial:
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+|titulo1=Dos vectores no paralelos generan plano
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+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3QqrQ26YHvI&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=27
+|sinopsis=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{y}</math>}}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, se puede poner como combinación lineal de ellos:
+{{p}}
+<center><math>\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}</math></center>
+Veremos en este video una comprobación geométrica y otra analítica.
+}}
+{{p}}
+'''2ª parte:'''
+Para la demostración de la segunda parte razonaremos por reducción al absurdo. Supondremos que existen dos combinaciones lineales distintas y llegaremos a una contradicción con la hipótesis de partida.
+Supongamos que existe dos combinaciones lineales distintas:
+<center><math>\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}</math></center>
+{{p}}
+<center><math>\vec{v}=a' \vec{x}+b' \vec{y}</math></center>
+con <math>a \ne a'</math> y <math>b \ne b'</math>
+Igualando ambas expresiones:
+{{p}}
+<center><math>a \vec{x}+b \vec{y}=a' \vec{x}+b' \vec{y}</math></center>
+de donde:
+<center><math>(a-a') \vec{x}=(b'-b) \vec{y}</math></center>
+Y como <math>a \ne a'</math>, podemos pasar dividiendo (a-a') que es distinto de cero:
+<center><math> \vec{x}=\cfrac{(b'-b)}{(a-a')} \vec{y}</math></center>
+Pero esta expresión nos dice que los vectores <math>\vec{x}</math> e <math>\vec{y}</math> son proporcionales y  que, por tanto, tienen la misma dirección. Esto contradice la hipótesis de partida.
 }}
 {{p}}
 {{p}}
 {{Teorema_sin_demo|titulo=Teorema de la base|enunciado=Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.
-}}
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-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3QqrQ26YHvI&list=PL9SnRnlzoyX2-qH2lY3o5Lhv9f6za9o9A&index=27
-|sinopsis=Dados dos vectores {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{x}</math>}} e {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{y}</math>}}, con distintas direcciones, cualquier vector del plano, {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\vec{v}</math>}}, se puede poner como combinación lineal de ellos:
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-<center><math>\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}</math></center>
-Veremos en este video una comprobación geométrica y otra analítica.
 }}
 {{p}}

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