Plantilla:Radicales (nivel básico)

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Tabla de contenidos

1 Radical
2 Operaciones con radicales
- 2.1 Propiedades de las operaciones con radicales
- 2.2 Suma y resta de radicales semejantes

Radical

Un radical es cualquier expresión del tipo:

$k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}$

Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.

Ejemplos:

Son radicales homogéneos: $3\sqrt{2} \ , \ -\sqrt{10} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt{7}$
Son radicales semejantes: $3\sqrt[3]{2} \ , \ -\sqrt[3]{2} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt[3]{2}$

Radicales (3´14") Sinopsis:

Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos.

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

1. $\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

2. $\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

4. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

5. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Demostración:

Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

Propiedad 2: Potencia de un radical

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Propiedad 3: Radical de otro radical:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Propiedad 4: Multiplicación de radicales con el mismo índice

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Propiedad 5: División de radicales con el mismo índice

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) $\sqrt[12]{x^9}$ , b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6$ , c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ , d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$ , e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}$

Solución:

a) $\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}$ , usando la propiedad nº 1.

b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4$ , usando la propiedad nº 2 y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3.

d) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3$ , usando la propiedad nº 4.

e) $\sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2$ , usando la propiedad nº 5.

Practica las propiedades de los radicales Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Propiedades de las operaciones con radicales

Propiedades y ejemplos (10'19") Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'07") Sinopsis:

Simplifica: $(3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})$

Ejercicio 2 (2'43") Sinopsis:

Simplifica: $(-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})$

Ejercicio 3 (2´21") Sinopsis:

Calcula: $\sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}$

Ejercicio 4 (6´31") Sinopsis:

Calcula:

1) $\sqrt{\cfrac{64}{49}}$ 2) $\sqrt[4]{\cfrac{1}{81}}$ 3) $\sqrt[3]{\cfrac{-27~~}{125}}$ 4) $\sqrt[5]{\cfrac{-32~~}{243}}$

Suma y resta de radicales semejantes

Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. $3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}$

2. $3\sqrt{2}-\sqrt{3}$

3. $3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}$

Solución:

1. $3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$

2. $3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)

3. $3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Suma y resta de radicales semejantes (4'58") Sinopsis:

Suma y resta de radicales semejantes. Ejemplos.

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