Plantilla:Fracciones algebraicas
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*Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo polinomio, y se dividen, resulta una fracción algebraica equivalente, diciéndose que la primera fracción algebraica se ha '''"simplificado"'''. | *Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo polinomio, y se dividen, resulta una fracción algebraica equivalente, diciéndose que la primera fracción algebraica se ha '''"simplificado"'''. | ||
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Revisión de 11:03 29 may 2017
Tabla de contenidos |
Fracción algebraica
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, siendo el denominador no nulo.
![\cfrac{P(x)}{Q(x)} ~, \quad Q(x) \ne 0](/wikipedia/images/math/0/6/2/062e62c58d7a0f1b6a44f158d131c2ab.png)
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones niuméricas a la hora de trabajar con ellas.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas y
son equivalentes si
![P(x) \cdot S(x)= Q(x) \cdot R(x)](/wikipedia/images/math/9/2/e/92ecb67b49bf5899583cba19c4eaccd3.png)
Las fracciones algebraicas y
, son equivalentes:
En efecto, si hacemos los productos cruzados:
estos coinciden.
Simplificación de fracciones algebraicas
Procedimiento
Para simplificar fracciones algebraicas, se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes. La fracción algebraica así obtenida es equivalente a la de partida.
Ejemplos: Simplificar fracciones algebraicas
Simplifica:
Primero factorizamos numerador y denominador:
A continuación simplificamos los factores comunes al numerador y denominador:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
- Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo, llamamos fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)/Q(x).
- Las fracciones algebraicas A(x)/B(x) y C(x)/D(x) se dicen equivalentes si A(x).D(x) = C(x).D(x), y se escribe A(x)/B(x) = C(x)/D(x).
- Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican por un polinomio no nulo, resulta una fracción algebraica equivalente.
- Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo polinomio, y se dividen, resulta una fracción algebraica equivalente, diciéndose que la primera fracción algebraica se ha "simplificado".
![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: | ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Simplifica: ![]() Problema que requiere simplificar fracciones algebraicas ![]() 3 ejercicios sobre equivalencia de fracciones algebraicas. ![]() 4 ejercicios sobre simplificación de fracciones algebraicas |
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Ejemplos: Suma y resta de fracciones algebraicas
Opera:
Reducimos a común denominador ambas fracciones, usando el m.c.m. de los denominadores que es
![\cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x} = \cfrac {2x}{x(x-3)} + \cfrac {5(x-3)}{x(x-3)}=](/wikipedia/images/math/d/c/e/dce384d4d00160fd3bf918fbcba3b471.png)
Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
![=\cfrac {2x+5(x-3)}{x(x-3)}=\cfrac {2x+5x-15}{x(x-3)}=\cfrac {7x-15}{x(x-3)}](/wikipedia/images/math/9/1/0/910931bde6d3e93b9aad51cd2bfd3ed4.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Suma y resta de fracciones algebraicas. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Opera y simplifica:
En este ejemplo se verá la utilidad de usar el m.c.m. frente a no usarlo.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
Producto de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Ejemplos: Producto de fracciones algebraicas
Opera:
Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado:
![\cfrac {2x \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x^2 }](/wikipedia/images/math/8/5/0/850795577a66c2acb72d28d4eb2e8828.png)
Simplificamos antes de efectuar el producto:
![\cfrac {2 \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x }](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a56adb88a19d471754035b8ed6bd52d.png)
Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:
![\cfrac {6x+10}{x^2-x}](/wikipedia/images/math/8/7/f/87f713ca793566d91e2bcf30c900f78c.png)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Multiplica:
Cociente de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Ejemplos: Cociente de fracciones algebraicas
Opera:
Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado:
![\cfrac {2x \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x^2}](/wikipedia/images/math/d/b/1/db1b7c4269051c507b821204891a1415.png)
Simplificamos:
![\cfrac {2 \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x}](/wikipedia/images/math/5/a/8/5a89e9f8a65915c0538f900839951813.png)
Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:
![\cfrac {2x-4}{x^2+x}](/wikipedia/images/math/6/a/4/6a4fa8e91a8a39ddc0feaee4fa802efa.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Producto y cociente de fracciones algebraicas. Ejemplos
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Opera y simplifica:
Actividades
Ejercicios resueltos: Operaciones con fracciones algebraicas
Opera:
- 1.
- 2.
Soluciones:
1.
![\cfrac {3}{x-1}](/wikipedia/images/math/7/8/5/7856a7c41e6c2974424ca6ff8fe72a58.png)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica:
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Simplifica: