Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Apéndice== | ||
- | {{Videotutoriales|titulo=Videotutoriales|enunciado= | ||
- | {{Video_enlace_clasematicas | ||
- | |titulo1=Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas y continua | ||
- | |duracion=18'20" | ||
- | |sinopsis=Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades. | ||
- | |||
- | *00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial). | ||
- | |||
- | *03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo. | ||
- | |||
- | *07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial. | ||
- | |||
- | *08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo. | ||
- | |||
- | *11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo. | ||
- | |||
- | *14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
- | |||
- | *15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso. | ||
- | |||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/01-la-recta-en-el-plano#.VC7D8Ra7ZV8 | ||
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- | {{Video_enlace_clasematicas | ||
- | |titulo1=Ecuaciones de la recta: General/implícita y explícita | ||
- | |duracion=15'39" | ||
- | |sinopsis=Segundo tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación general/implícita y explícita, con ejemplos y propiedades. | ||
- | |||
- | *00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua. | ||
- | *01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo. | ||
- | *06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo. | ||
- | *11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta. | ||
- | *12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
- | *13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso. | ||
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- | {{Video_enlace_clasematicas | ||
- | |titulo1=Ecuaciones de la recta: Simétrica/canónica y punto Pendiente | ||
- | |duracion=15'00" | ||
- | |sinopsis=Tercer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación simétrica/canónica y punto pendiente, con ejemplos y propiedades. | ||
- | |||
- | *00:00 a 01:30: Repaso de los vídeos anteriores: Ecuación vectorial, paramétrica, continua, general/implícita y explícita. | ||
- | *01:30 a 06:05: Ecuación Simétrica/Canónica de la recta + Ejemplo. Propiedad de los puntos de corte con los ejes. | ||
- | *06:05 a 08:50: Ecuación Punto Pendiente de la recta + Ejemplo. | ||
- | *08:50 a 11:36: Propiedad de la pendiente m = dY/dX. | ||
- | *11:36 a 12:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
- | *12:20 a 15:00: Ejemplo final de repaso. | ||
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- | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=La recta en el plano | ||
- | |duracion=18'28" | ||
- | |sinopsis=Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita. | ||
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- | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
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- | |sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dado un punto y un vector director. | ||
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- | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
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- | |sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas. | ||
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- | |titulo1=Ejercicio 3 | ||
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- | |titulo1=Ejercicio 4 | ||
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- | |sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua. | ||
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- | |sinopsis=Dibujar rectas dadas en distintas formas. | ||
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- | |sinopsis=Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices. | ||
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- | }} | ||
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
Revisión de 11:10 5 jun 2017
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(Pág. 191)
Vector de dirección de una recta
- Una recta
queda determinada por un punto
y un vector
que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos
y
de una recta determinan un vector de dirección de la misma,
.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.
Ecuación vectorial de la recta
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuación vectorial de la recta. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección y que pasa por el punto
.
|
A partir de la ecuación verctorial de la recta
![\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}](/wikipedia/images/math/7/1/a/71a4da322def2f18f0f045ed96ee7a38.png)
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
![(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)](/wikipedia/images/math/0/5/a/05aeb528782ac26e3e6cdbb5396af910.png)
Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director que pasa por el punto
.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.
Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta con vector director y que pasa por un punto
:
|
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector
sean distintas de cero), tenemos:
![\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}](/wikipedia/images/math/1/2/8/128d91823024041d2b3028035193eda1.png)
![t\,](/wikipedia/images/math/0/c/6/0c68620ee2ea4f1286fcd672a47ea080.png)
Ejemplo: Ecuación continua de la recta
Halla la ecuación continua de la recta con vector director que pasa por el punto
.
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e igualamos:
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuación continua de la recta. Ejemplos.
Ecuación implícita o general de la recta
Ecuación implícita o general de la recta:
|
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y
)
![\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}](/wikipedia/images/math/2/9/6/296eee151482919e164692b7e9ddb36f.png)
Multiplicando en cruz:
![d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)](/wikipedia/images/math/3/5/e/35e19e81039fa61230f9e7e8ccf3c793.png)
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
![d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0](/wikipedia/images/math/6/4/9/649da93978d7cd2ee8248732b65e25b1.png)
de donde, haciendo: ,
y
se tiene la ecuación.
Antes hemos supuesto y
. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si
, las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/2/5/8/2589578b1df9dcd012999686e29e8af0.png)
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería
.
- Si
, las ecuaciones paramétricas serían:
![\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/b/9/eb965bf6e994d4d0aa8a99e814e0c489.png)
![y=p_2\,](/wikipedia/images/math/e/5/a/e5a2de4f4322a15e275a95c879e29a43.png)
![y-p_2=0\,](/wikipedia/images/math/8/e/7/8e7ea76d0fb1d5acf704ab360814f0aa.png)
Ejemplo: Ecuación implícita de la recta
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos y
.
Primero calculamos su vector de dirección:
Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:
Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector
es un vector de dirección de la recta.
- El vector
es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo ,
y
, se tenía la ecuación implícita
.
Entonces, el vector , que es el vector director de la recta
![(A,B)=(d_2, -d_1)\,](/wikipedia/images/math/f/8/1/f81babca2d3463189391f20683b6b0d5.png)
![(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0](/wikipedia/images/math/a/4/2/a4287ec12b87aa179322e9262cda1788.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuación general de la recta. Ejemplos.
Ecuación explícita de la recta
Ecuación explícita de la recta:
|
donde se llama pendiente de la recta y
ordenada en el origen.
Partiendo de la ecuación implícita
![Ax+By+C\,](/wikipedia/images/math/3/9/9/399997b520180852991487c1d0388425.png)
y despejando (siempre que
), tenemos:
![y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,](/wikipedia/images/math/4/0/b/40ba9b5ddde783d2f89ae68a97949bb7.png)
![m=-\cfrac{A}{B}](/wikipedia/images/math/4/5/4/454e129e656ea02244c5ab6ffd51bd0f.png)
![n=-\cfrac{C}{B}](/wikipedia/images/math/8/3/0/83000a8c7f3c247665ee67cb2ae1a284.png)
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).
Ejemplo: Ecuación explícita de la recta
- Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:
Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.
Para obtener la ecuación explícita basta con despejar :
Proposición
- La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
- Si
y
son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es
- El vector de coordenadas
es un vector de dirección de la recta.
1. Sean y
, dos puntos de la rectan y tomemos
.
Sus abcisas y
difieren en 1.
Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:
2. Por la definición de tangente de un ángulo:
3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que , entonces:
Si multiplicamos ambas coordenadas por , obtenemos otro vector con la misma dirección:
![(-B,A)\,](/wikipedia/images/math/2/b/8/2b8882e88e41e1734fe4a27134076833.png)
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Ecuación explícita de la recta. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Ejemplo.
Actividad: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.
Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: line (3,5),(2,3) |
Ecuación punto-pendiente de la recta
Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
|
Partimos de la ecuación explícita
Sustituimos el punto en la ecuación y despejamos
:
Sustituimos este valor de en la ecuación explícita y sacamos factor común
:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.
Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).
Primero calculamos su pendiente:
Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:
Actividad: Ecuaciones de la recta Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente. Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
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Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano |