Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 18:59 5 jun 2017 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 19:02 5 jun 2017 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Teorema del coseno) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 219: | Línea 219: | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Videotutoriales|titulo=Teorema del coseno|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Teorema del coseno|enunciado= | ||
+ | {{Video_enlace_clasematicas | ||
+ | |titulo1=Tutorial 1 | ||
+ | |duracion=12´44" | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=-PHfDLBYaVc&index=5&list=PLZNmE9BEzVIlfkGkycBHck7ZFTYKuEtnw | ||
+ | |sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Coseno, resolviendo ejercicios en donde se aplica tanto para el cálculo de lados como el de ángulos. | ||
+ | |||
+ | *00:00 a 06:00: Ejemplo introductorio (Ejemplo1). | ||
+ | *06:00 a 07:14: Teorema del Coseno: Enunciado. | ||
+ | *07:14 a 10:03: Teorema del Coseno: Demostración. | ||
+ | *10:03 a 11:05: Aplicación del Teorema del Coseno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1). | ||
+ | *11:05 a Fin: Aplicación del Teorema del Coseno para el cálculo de los ángulos de un triángulo, dados sus tres lados del triángulo (Ejemplo 2). | ||
+ | }} | ||
{{Video_enlace_fonemato | {{Video_enlace_fonemato | ||
- | |titulo1=Tutorial | + | |titulo1=Tutorial 2 |
|duracion=9´38" | |duracion=9´38" | ||
|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/07-resolucion-de-triangulos/02-teorema-del-coseno#.VCfahfl_u2E | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/07-resolucion-de-triangulos/02-teorema-del-coseno#.VCfahfl_u2E |
Revisión de 19:02 5 jun 2017
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | T. Coseno | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
(Pág. 116)
Teorema de los senos
Teorema de los senos
En un triángulo cualquiera se cumplen las siguientes igualdades:
|
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro
.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos
y
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco
. Por la definición de seno, se tiene
![sen \, \hat A=sen \, \hat P=\cfrac{\overline{BC}}{\overline{BP}} = \cfrac{a}{2R}](/wikipedia/images/math/9/a/b/9ab4c378c07d0b59d05fbab608424dd3.png)
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
![\frac{a}{sen \, \hat A} = 2R](/wikipedia/images/math/a/5/d/a5d330b03193e675dffbc9083420ab83.png)
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver la demostración del teorema de los senos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar el valor de la constante del teorema de los senos.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar el teorema de los senos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Teorema de los senos con otra demostración.
Ejemplo: Teorema de los senos
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Resuelve el triángulo ABC sabiendo que A=35º, B=61º y a=13 cm.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla la distancia entre dos barcos observados desde bajo ángulos de depresión de 40º y 25º, desde un globo que vuela a 3000 pies.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Teorema de los senos |
(Pág. 118)
Teorema del coseno
Teorema del coseno
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver la demostración del teorema del coseno.
Demostración:
Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.
Primer caso: es agudo.
Consideremos la figura adjunta. La altura ![]() ![]() ![]() Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos ![]() Por la definición de coseno, se tiene: ![]() Sustituimos el valor de ![]() concluyendo que ![]() y terminando con esto la prueba del primer caso. |
Segundo caso: es obtuso.
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que
![]() ![]() Combinando ambas ecuaciones obtenemos ![]() De la definición de coseno, se tiene: ![]() Sustituimos en la expresión para ![]() concluyendo nuevamente ![]() |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar el teorema del coseno.
Ejemplo: Teorema del coseno
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Tutorial en el que se explica y trabaja el Teorema del Coseno, resolviendo ejercicios en donde se aplica tanto para el cálculo de lados como el de ángulos.
- 00:00 a 06:00: Ejemplo introductorio (Ejemplo1).
- 06:00 a 07:14: Teorema del Coseno: Enunciado.
- 07:14 a 10:03: Teorema del Coseno: Demostración.
- 10:03 a 11:05: Aplicación del Teorema del Coseno en cálculo del lado de un triángulo (Ejemplo 1).
- 11:05 a Fin: Aplicación del Teorema del Coseno para el cálculo de los ángulos de un triángulo, dados sus tres lados del triángulo (Ejemplo 2).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Teorema del coseno con demostración.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Resuelve el triángulo ABC sabiendo que C=42º, a=13 cm y b=8 cm.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla la distancia entre dos cometas sabiendo que un muchacho las sujeta con dos hilos que forman un ángulo de 30º y que miden 400 m y 500 m cada uno.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
De un puerto sale un barco a las 2:00 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el este. A las 3:00 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N18ºE. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5:00 PM
Actividad: Teorema del coseno
Solución: Donde pone "Escribe tu consulta" pon la siguiente expresión:
|
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Teorema del coseno |
Ejercicios
Problema resuelto sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles. Se usará el teorema de los senos y el del coseno.
Videotutoriales
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Resolver un triángulo es identificarlo (o sea, determinar sus lados y ángulos); para ello hay que conocer tres de sus elementos, siendo alguno de ellos un lado. Cabe distinguir 4 casos:
- Se conocen dos ángulos y un lado.
- Se conocen dos lados y el ángulo que forman.
- Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- Se conocen los tres lados.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.