Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

La vida en la recta real (11'13") Sinopsis:

La clave para entender el Cálculo Diferencial de una variable y divertirse con él es aprender a "meterse en la piel" de un habitante genérico "x" de la recta real. En este vídeo describimos la vida de "x" ("x" eres tú) en el alambre infinito donde vive: un universo de una única dimensión.

Los puntos en la recta real.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Recordando cosas importantes (nivel superior) (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Dada una función $f(x)\;$ , cuando la variable independiente $x\;$ se aproxima a un cierto punto $a\;$ , ya sea por la derecha o por la izquierda, $f(x)\;$ va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la izquierda en un punto $a\;$ , si existe un número $L_1 \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow a^-\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L_1$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^-} f(x)=L_1$

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la derecha en un punto $a\;$ , si existe un número $L_2 \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow a^+\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L_2$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=L_2$

Una función $f(x)\;$ tiene límite en un punto $a\;$ , si existe un número $L \in \mathbb{R}$ de manera que

$\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L$

y lo representaremos:

$\lim_{x \to a} f(x)=L$

Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

El límite de una función en un punto según Cauchy (nivel superior) (18'31") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función en un punto.

AVISO: Este video excede el nivel de 1º de Bachillerato.

Funciones sin límite en un punto (nivel superior) (17'06") Sinopsis:

Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.

AVISO: Este video excede, en parte, el nivel de 1º de Bachillerato.

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Categorías: Matemáticas | Funciones

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